ε-δ論法とは

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：入門学習時間：約60分

ε-δ論法は、**「出力 $f(x)$ の誤差を $\varepsilon$ 以内にしたければ、入力 $x$ の誤差を十分小さい $\delta$ 以内にする」**という約束で極限を厳密に表す方法です。

GOALこの記事で分かること

• 極限の正式な定義を日本語で説明できる
• 「$\varepsilon$ が先、$\delta$ が後」という量化の順序を理解する
• $f(x)=2x$ の極限をε-δ論法で証明できる
• $\delta$ が何に依存してよいかを説明できる

PRE前提知識

関数の極限とはと量化記号と命題の否定を使います。ほかに $|x-a|$ が距離を表すことを使います。

先に出力側の許容誤差εを決め、それを保証する入力側の幅δを選びます。破線とラベルで二つの帯を区別しています。

なぜε-δ論法が必要なのか

「$x$ が $a$ に限りなく近づく」という言葉だけでは、どの程度近づけば十分なのかが曖昧です。また、$x=a$ での値を調べることと、$a$ の近くでの振る舞いを調べることは別です。

ε-δ論法は「限りなく近い」を使わず、どんな精度を要求されても、その精度を実現できる入力範囲を用意できるという形に言い換えます。

IDEA出力側から注文し、入力側で応える

相手が「出力を $L$ から $0.1$ 未満にして」「今度は $0.001$ 未満にして」と、好きな精度 $\varepsilon$ を注文します。こちらは注文を受けるたびに、$x$ を $a$ からどこまで近づければよいかという範囲 $\delta$ を答えます。どれほど厳しい注文にも必ず答えられるなら、極限は $L$ です。

図がなくても、$a$ を中心とする入力の細い区間を想像してください。その区間から $a$ 自身を除いた場所に $x$ を入れると、出力が必ず $L$ を中心とする指定幅の区間へ収まる、という意味です。

正確な定義

DEF関数の極限

関数 $f$ が $a$ の近く（$a$ 自身を除いてよい）で定義されているとします。

$$\lim_{x\to a}f(x)=L$$

であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、定義域内の任意の $x$ について

$$0<|x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon$$

が成り立つことです。

量化の順序を日本語で読む

定義は次の順番で読みます。

1. 相手が、任意の正の数 $\varepsilon$ を先に選ぶ
2. その $\varepsilon$ を見て、こちらが正の数 $\delta$ を選ぶ
3. その後で、条件 $0<|x-a|<\delta$ を満たすどの $x$ を選ばれても、$|f(x)-L|<\varepsilon$ が成立する

$\delta$ は $\varepsilon$ に応じて変えて構いません。一方、$x$ が選ばれる前に $\delta$ を決めるので、$\delta$ を $x$ に依存させてはいけません。

f(x) = 2x の極限を証明する

EXx → 3 で 2x → 6 となることの証明

示したいのは、任意の $\varepsilon>0$ に対して適切な $\delta>0$ を選び、 $0<|x-3|<\delta \Longrightarrow |2x-6|<\varepsilon$ を成立させることです。

出力の誤差を入力の誤差へ変形すると、 $|2x-6|=|2(x-3)|=2|x-3|.$

したがって $2|x-3|<\varepsilon$ にしたければ、$|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}$ とすればよいと分かります。そこで $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ と選びます。

実際、$0<|x-3|<\delta$ なら $|2x-6|=2|x-3|<2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$

よって定義により $\lim_{x\to3}2x=6$ です。

δを見つける計算と、証明を書く順序

下書きでは、目標 $|f(x)-L|<\varepsilon$ から逆向きに計算し、必要な $\delta$ を探します。完成した証明では、最初に「$\varepsilon>0$ を任意に取る。$\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ と置く」と宣言し、その選択が働くことを順向きに確認します。

よくある誤解

!εとδは、とても小さい固定値？

$\varepsilon$ と $\delta$ は、あらかじめ $0.01$ などに固定された数ではありません。極限の定義はすべての $\varepsilon>0$ に答えることを要求します。$\varepsilon=10^{-100}$ のような厳しい要求も含みます。

!δはεに依存してはいけない？

$\delta$ は先に渡された $\varepsilon$ に依存して構いません。上の例の $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ がまさにそうです。ただし証明中で後から選ばれる $x$ に依存してはいけません。$\delta=\frac{|x-a|}{2}$ のような選び方では、すべての $x$ を一度に制御できません。

!x = a を代入すればよい？

極限は $a$ の近くでの振る舞いを調べます。条件に $0<|x-a|$ があるため $x=a$ は除かれます。$f(a)$ が未定義でも極限が存在する場合があります。

練習問題

Q一次関数の極限★★☆

ε-δ論法を使って $\lim_{x\to2}(3x+1)=7$ を証明してください。

HINTヒントを見る

$|(3x+1)-7|$ を $|x-2|$ を使って表します。出力の誤差を $\varepsilon$ 未満にするには、入力の誤差をいくつ未満にすればよいでしょうか。

ANS解答を見る

$\varepsilon>0$ を任意に取ります。$|(3x+1)-7|=3|x-2|$ なので、$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$ と置きます。$0<|x-2|<\delta$ を満たす任意の $x$ について $|(3x+1)-7|=3|x-2|<3\delta=\varepsilon.$ したがって定義により $\lim_{x\to2}(3x+1)=7$ です。

Q指定された誤差からδを決める★☆☆

$f(x)=2x$ について、$x\to3$ のとき $f(x)\to6$ となります。出力誤差を $0.1$ 未満にするための $\delta$ を一つ求めてください。

HINTヒントを見る

$|2x-6|=2|x-3|$ を使います。

ANS解答を見る

$\delta=0.05$ と取れます。実際、$0<|x-3|<0.05$ なら $|2x-6|=2|x-3|<0.1$ です。これより小さい正の $\delta$ でも構いません。

Q二次関数の極限を証明する★★★

定義に従って

$$\lim_{x\to2}x^2=4$$

を証明してください。

HINTヒントを見る

$|x^2-4|=|x-2||x+2|$ です。まず $|x-2|<1$ として $|x+2|$ を一定値で抑えます。

ANS解答を見る

$\varepsilon>0$ に対し $\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{5}\}$ と取ります。$0<|x-2|<\delta$ なら $|x-2|<1$ なので $1<x<3$、したがって $|x+2|<5$ です。よって

$$|x^2-4|=|x-2||x+2|<5\delta\le\varepsilon.$$

したがって定義により極限は $4$ です。

KEY要点のまとめ

• $\varepsilon$ は許される出力誤差、$\delta$ は許される入力誤差
• 任意の $\varepsilon>0$ が先に選ばれ、その後で $\delta>0$ を選ぶ
• $\delta$ は $\varepsilon$ に依存してよいが、$x$ に依存してはいけない
• 証明では出力誤差を入力誤差で評価して、$\delta$ の決め方を見つける
• 極限は点での値ではなく、その点の近くでの振る舞いを述べる

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