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大学数学の道しるべ

線形写像とは

なぜ線形写像が必要なのか

Section titled “なぜ線形写像が必要なのか”

ベクトルを別のベクトルへ移す操作は無数にあります。しかし、どんな操作でも一度に調べようとすると規則が複雑すぎます。そこで、ベクトル空間の基本操作である足し算と定数倍を壊さない写像に対象を絞ります。

この条件を満たす写像は、基底ベクトルをどこへ移すかだけで全体の動きが決まります。そのため行列で記録でき、計算と理論を結び付けられます。

正確な定義

Section titled “正確な定義”

以下では V,WV,W を同じ体 KK 上のベクトル空間とします。初めて読むときは K=RK=\mathbb{R} と考えて構いません。

2条件は、任意の a,b∈Ka,b\in K に対する

f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y})=a f(\boldsymbol{x})+b f(\boldsymbol{y})

という一つの式にまとめられます。「任意の」が重要で、都合のよいベクトルだけで成立しても十分ではありません。

最も簡単な例と反例

Section titled “最も簡単な例と反例”

行列を掛ける操作

Section titled “行列を掛ける操作”

m×nm\times n 行列 AA を固定すると、

T:Rn→Rm,T(x)=AxT:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}

は線形写像です。行列の分配法則とスカラー倍の性質から

A(x+y)=Ax+Ay,A(cx)=cAxA(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y},\qquad A(c\boldsymbol{x})=cA\boldsymbol{x}

が成り立つからです。

原点を必ず原点へ移す

Section titled “原点を必ず原点へ移す”
∵証明

スカラー倍を保つ条件に c=0c=0 を入れると、任意の x∈V\boldsymbol{x}\in V に対して f(0V)=f(0x)=0f(x)=0Wf(\boldsymbol{0}_V)=f(0\boldsymbol{x})=0f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}_W となります。

この性質は線形でないことを示す便利な判定法です。ただし、f(0)=0f(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0} だけでは線形だとは限りません。たとえば f(x)=x2f(x)=x^2 は 00 を 00 へ移しますが、一般に加法を保ちません。

よくある誤解

Section titled “よくある誤解”

練習問題

Section titled “練習問題”
Q線形性を判定する★★☆

次の写像 T:R2→R2T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 が線形写像か判定してください。 T(x,y)=(x+y, 2x−y).T(x,y)=(x+y,\,2x-y).

HINTヒントを見る

(x1,y1),(x2,y2)∈R2(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 と c∈Rc\in\mathbb{R} を一般のまま置き、加法とスカラー倍の2条件を確認します。あるいは、T(x,y)T(x,y) を行列と列ベクトルの積で表せないか考えます。

ANS解答を見る
T(x,y)=(112−1)(xy)T(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

と表せます。固定した行列を掛ける写像なので線形です。直接計算しても、任意の u,v∈R2\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^2 と c∈Rc\in\mathbb{R} に対して T(u+v)=T(u)+T(v)T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=T(\boldsymbol{u})+T(\boldsymbol{v})、T(cu)=cT(u)T(c\boldsymbol{u})=cT(\boldsymbol{u}) が成り立ちます。