線形写像とは

正方形格子が平行四辺形格子へ変形し、原点は原点のまま保たれる図 — 線形写像は格子を傾けたり伸縮したりしますが、足し算と定数倍の構造を保ち、原点を原点へ移します。

なぜ線形写像が必要なのか

ベクトルを別のベクトルへ移す操作は無数にあります。しかし、どんな操作でも一度に調べようとすると規則が複雑すぎます。そこで、ベクトル空間の基本操作である足し算と定数倍を壊さない写像に対象を絞ります。

この条件を満たす写像は、基底ベクトルをどこへ移すかだけで全体の動きが決まります。そのため行列で記録でき、計算と理論を結び付けられます。

正確な定義

以下では $V,W$ を同じ体 $K$ 上のベクトル空間とします。初めて読むときは $K=\mathbb{R}$ と考えて構いません。

2条件は、任意の $a,b\in K$ に対する

f(a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y})=a f(\boldsymbol{x})+b f(\boldsymbol{y})

という一つの式にまとめられます。「任意の」が重要で、都合のよいベクトルだけで成立しても十分ではありません。

最も簡単な例と反例

行列を掛ける操作

$m\times n$ 行列 $A$ を固定すると、

$T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\qquad T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}$

は線形写像です。行列の分配法則とスカラー倍の性質から

$A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y},\qquad A(c\boldsymbol{x})=cA\boldsymbol{x}$

が成り立つからです。

原点を必ず原点へ移す

∵証明

スカラー倍を保つ条件に $c=0$ を入れると、任意の $\boldsymbol{x}\in V$ に対して $f(\boldsymbol{0}_V)=f(0\boldsymbol{x})=0f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}_W$ となります。

この性質は線形でないことを示す便利な判定法です。ただし、 $f(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$ だけでは線形だとは限りません。たとえば $f(x)=x^2$ は $0$ を $0$ へ移しますが、一般に加法を保ちません。

よくある誤解

練習問題

Q線形性を判定する★★☆

次の写像 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ が線形写像か判定してください。 $T(x,y)=(x+y,\,2x-y).$

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$(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2$ と $c\in\mathbb{R}$ を一般のまま置き、加法とスカラー倍の2条件を確認します。あるいは、 $T(x,y)$ を行列と列ベクトルの積で表せないか考えます。

ANS解答を見る

T(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

と表せます。固定した行列を掛ける写像なので線形です。直接計算しても、任意の $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^2$ と $c\in\mathbb{R}$ に対して $T(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})=T(\boldsymbol{u})+T(\boldsymbol{v})$ 、 $T(c\boldsymbol{u})=cT(\boldsymbol{u})$ が成り立ちます。

Q行列で表された線形写像を計算する★☆☆

$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ を

T(x,y)=(x+2y,3x-y)

と定めます。 $T(2,-1)$ を求めてください。

HINTヒントを見る

x=2,y=-1

を二つの成分へ代入します。

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T(2,-1)=(2+2(-1),3\cdot2-(-1))=(0,7).

Q原点を保つことを導く★★★

線形写像 $T:V\to W$ が必ず $T(0_V)=0_W$ を満たすことを示し、この事実を使って $f(x)=2x+1$ が $\mathbb R$ 上の線形写像でない理由を説明してください。

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0_V=0\cdot v

に対するスカラー倍の保存を使います。

ANS解答を見る

任意の $v\in V$ に対し、線形性から

T(0_V)=T(0\cdot v)=0\cdot T(v)=0_W

です。一方、 $f(0)=1\ne0$ なので、 $f(x)=2x+1$ は線形写像が満たす必要条件を破り、線形ではありません。