掃き出し法

なぜ掃き出し法を使うのか

代入法や加減法は未知数が少ないときには便利ですが、方程式と未知数が増えると手順を管理しにくくなります。掃き出し法は未知数の記号を省いた拡大係数行列を使い、同じ操作を規則的に繰り返します。

これらは、方程式の順番を変える、方程式の両辺を同じ非零数倍する、ある方程式の定数倍を別の方程式に加える操作に対応します。どの操作も元へ戻せるため、解集合は変わりません。

EX一意解を求める

\begin{cases} x+2y=5\\ 2x-y=0 \end{cases}

を解きます。拡大係数行列から始めます。

\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\2&-1&0\end{array}\right) \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-2R_1} \left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&-5&-10\end{array}\right).

第2行を $-5$ で割ります。

\xrightarrow{R_2\leftarrow-\frac15R_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\0&1&2\end{array}\right) \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-2R_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&0&1\\0&1&2\end{array}\right).

したがって $x=1,y=2$ です。

EX階段形を作ってから逆に読む

\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2 \end{cases}

に対して、

\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2 \end{array}\right)

から始めます。

\xrightarrow{\substack{R_2\leftarrow R_2-2R_1\\R_3\leftarrow R_3-R_1}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2\leftrightarrow R_3} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9 \end{array}\right).

さらに

\xrightarrow{R_3\leftarrow R_3+3R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21 \end{array}\right).

下から読むと $z=3$ 、 $y-2z=-4$ から $y=2$ 、 $x+y+z=6$ から $x=1$ です。

さらに、各ピボットを $1$ にし、その列のほかの成分をすべて $0$ にした形を簡約行階段形といいます。二元の例の最後の行列は簡約行階段形です。三元の例は行階段形まで作り、下から代入しました。

Q掃き出し法で解く★★☆

\begin{cases} x+y=4\\ 3x-y=4 \end{cases}

を拡大係数行列に直し、簡約行階段形まで変形して解を求めてください。

HINTヒントを見る

第2行から第1行の3倍を引くと、 $x$ の係数を0にできます。

ANS解答を見る

\left(\begin{array}{cc|c}1&1&4\\3&-1&4\end{array}\right) \xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-3R_1} \left(\begin{array}{cc|c}1&1&4\\0&-4&-8\end{array}\right)

\xrightarrow{R_2\leftarrow-\frac14R_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&1&4\\0&1&2\end{array}\right) \xrightarrow{R_1\leftarrow R_1-R_2} \left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&2\end{array}\right).

したがって $(x,y)=(2,2)$ です。

Q基本行変形を選ぶ★☆☆

拡大係数行列

\begin{pmatrix}1&2&|&3\\2&5&|&8\end{pmatrix}

の左下の2を0にする基本行変形を書き、その結果を求めてください。

HINTヒントを見る

第2行から第1行の2倍を引きます。

ANS解答を見る

$R_2\leftarrow R_2-2R_1$ により

\begin{pmatrix}1&2&|&3\\0&1&|&2\end{pmatrix}

となります。行全体に同じ操作を施しているため、解集合は変わりません。

Q自由変数を含む解を求める★★★

\begin{cases} x+y+z=2,\\ 2x+2y+2z=4,\\ x-y+z=0 \end{cases}

を解いてください。

HINTヒントを見る

第2式は第1式の2倍です。

z=t

と置き、残る二式を解きます。

ANS解答を見る

$z=t$ と置くと、 $x+y=2-t$ 、 $x-y=-t$ です。加えると $x=1-t$ 、そこから $y=1$ を得ます。したがって

(x,y,z)=(1-t,1,t)\qquad(t\in\mathbb R)

で、自由変数が一つあります。