連立一次方程式

「一次」と「連立」の意味

未知数 $x,y$ について、 $2x-3y=5$ のように各未知数の次数が1で、未知数どうしの積を含まない方程式を一次方程式といいます。 $x^2+y=1$ や $xy=2$ は一次方程式ではありません。

複数の方程式を同時に考えるのが連立方程式です。

代入法や加減法は、方程式を同値な形へ変えて解を見つける方法です。大学ではこの操作を行列に対して整理した掃き出し法へ発展させます。

係数と定数を一つに並べた

\left(\begin{array}{cc|c} 2&1&5\\ 1&-3&4 \end{array}\right)

を拡大係数行列といいます。縦線の左が係数、右が定数です。未知数の記号を省いて計算できるため、掃き出し法で使います。

Q行列形式と解を求める★★☆

\begin{cases} 3x+2y=7\\ x-y=-1 \end{cases}

を $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ と拡大係数行列で表し、解を求めてください。

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2式目から $x=y-1$ と表せます。これを1式目へ代入します。

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\begin{pmatrix}3&2\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}, \qquad \left(\begin{array}{cc|c}3&2&7\\1&-1&-1\end{array}\right).

$x=y-1$ を1式目へ代入すると $3(y-1)+2y=7$ 、よって $5y=10$ から $y=2$ 、 $x=1$ です。

Q行列形式へ直す★☆☆

連立方程式

\begin{cases}2x-y=3,\\x+4y=5\end{cases}

を $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ の形で表してください。

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係数を行列

A

、未知数を列ベクトル、右辺を定数ベクトルに並べます。

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\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}.

Qパラメータで解の個数を分類する★★★

\begin{cases}x+y=1,\\2x+ay=2\end{cases}

について、実数 $a$ の値により解の個数を分類してください。

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第2式から第1式の2倍を引くと、

(a-2)y=0

になります。

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$a\ne2$ なら $y=0$ 、したがって $x=1$ で解は一つです。 $a=2$ なら第2式は第1式の2倍で同じ条件しか与えず、 $x+y=1$ 上の無数の解があります。解が存在しない場合はありません。