ベクトルとは

なぜベクトルが必要なのか

位置や速度のように、一つの数だけでは表せない情報があります。東向きに3、北向きに2進む移動は、二つの数 $(3,2)$ を一組にして初めて表せます。ベクトルを使うと、このような複数成分をもつ量を一つの対象として足したり、拡大したりできます。

高校数学では、ベクトルを大きさと向きをもつ矢印として学びます。この見方を幾何ベクトルと呼ぶことがあります。一方、座標を決めると矢印の横方向・縦方向の移動量を数の組で表せます。

実数を二つ並べたベクトル全体を

\mathbb{R}^2=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\middle|x,y\in\mathbb{R}\right\}

と書きます。同様に、三つの実数を並べたベクトル全体が $\mathbb{R}^3$ です。

すべての成分が $0$ のベクトルを零ベクトルといい、 $\boldsymbol{0}$ と書きます。どのベクトル $\boldsymbol{v}$ に対しても $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{v}$ です。

ベクトルの引き算は

\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+(-1)\boldsymbol{v}

と定めます。つまり、対応する成分どうしを引きます。

座標平面の点 $P=(3,2)$ は場所を表し、ベクトル $(3,2)^{\mathsf T}$ は移動量を表します。本来の役割は異なります。ただし、原点 $O$ から点 $P$ へ向かう位置ベクトルを使うと、どちらも同じ数の組で表されます。

Qベクトルの基本計算★☆☆

\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}

について、 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 、 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 、 $-2\boldsymbol{a}$ を求めてください。

HINTヒントを見る

対応する成分ごとに計算します。 $-2\boldsymbol{a}$ では二つの成分の両方に $-2$ を掛けます。

ANS解答を見る

\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix},\qquad -2\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}.

Q二つのベクトルによる表示★★☆

$a(1,1)+b(1,-1)=(4,2)$ となる実数 $a,b$ を求めてください。

HINTヒントを見る

各成分を比較して

a+b=4

、

a-b=2

を解きます。

ANS解答を見る

二式を加えると $2a=6$ なので $a=3$ 、差を取ると $2b=2$ なので $b=1$ です。実際、 $3(1,1)+(1,-1)=(4,2)$ となります。

Qベクトル方程式を解く★★★

$u=(1,2)$ 、 $v=(-2,1)$ に対し、 $3x+u=2v$ を満たすベクトル $x$ を求めてください。

HINTヒントを見る

3x=2v-u

としてから、各成分を3で割ります。

ANS解答を見る

$2v-u=(-4,2)-(1,2)=(-5,0)$ なので、 $x=(-\frac{5}{3},0)$ です。代入すると $3x+u=(-5,0)+(1,2)=(-4,2)=2v$ です。