ベクトルとは

30秒30秒で分かる要約

科目：線形代数難易度：入門学習時間：約25分

ベクトルは、複数の数をひとまとまりとして扱う対象です。 平面では矢印としてイメージでき、大学数学では成分を縦に並べた数ベクトルとして計算します。

GOALこの記事で分かること

• 幾何ベクトルと数ベクトルの関係を説明できる
• ベクトルの加法・引き算・スカラー倍を計算できる
• $\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{R}^3$ の意味を理解する
• 点とベクトルを区別して考えられる

PRE前提知識

座標平面、負の数、実数の加減乗除を使います。高校数学でベクトルを学んでいなくても読めます。

なぜベクトルが必要なのか

位置や速度のように、一つの数だけでは表せない情報があります。東向きに3、北向きに2進む移動は、二つの数 $(3,2)$ を一組にして初めて表せます。ベクトルを使うと、このような複数成分をもつ量を一つの対象として足したり、拡大したりできます。

IDEA平面上の移動として考える

ベクトル $(3,2)$ は「右へ3、上へ2」という移動です。出発点をどこに置いても、移動量が同じなら同じベクトルだと考えます。

幾何ベクトルと数ベクトル

高校数学では、ベクトルを大きさと向きをもつ矢印として学びます。この見方を幾何ベクトルと呼ぶことがあります。一方、座標を決めると矢印の横方向・縦方向の移動量を数の組で表せます。

DEF二次元の数ベクトル

二つの実数 $x,y$ を縦に並べた

$$\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

を二次元の数ベクトルといいます。$x,y$ を $\boldsymbol{v}$ の成分といいます。

実数を二つ並べたベクトル全体を

$$\mathbb{R}^2=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\middle|x,y\in\mathbb{R}\right\}$$

と書きます。同様に、三つの実数を並べたベクトル全体が $\mathbb{R}^3$ です。

ベクトルの基本演算

DEF加法とスカラー倍

$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2)^{\mathsf T}$、$\boldsymbol{v}=(v_1,v_2)^{\mathsf T}$、$c\in\mathbb{R}$ に対し、

$$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} =\begin{pmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\end{pmatrix}, \qquad c\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}cv_1\\cv_2\end{pmatrix}$$

と定めます。ここで $c$ のようにベクトルを拡大・縮小する数をスカラーといいます。

EX加法とスカラー倍の計算

$$\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$$

なら、

$$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}, \qquad 2\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}.$$

加法では対応する成分どうしを足し、スカラー倍ではすべての成分に同じ数を掛けます。

すべての成分が $0$ のベクトルを零ベクトルといい、$\boldsymbol{0}$ と書きます。どのベクトル $\boldsymbol{v}$ に対しても $\boldsymbol{v}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{v}$ です。

ベクトルの引き算は

$$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+(-1)\boldsymbol{v}$$

と定めます。つまり、対応する成分どうしを引きます。

点とベクトルは同じものか

座標平面の点 $P=(3,2)$ は場所を表し、ベクトル $(3,2)^{\mathsf T}$ は移動量を表します。本来の役割は異なります。ただし、原点 $O$ から点 $P$ へ向かう位置ベクトルを使うと、どちらも同じ数の組で表されます。

!ベクトルは矢印そのもの？

矢印はベクトルを理解する優れた図ですが、ベクトルのすべてではありません。多項式や関数も、適切な足し算とスカラー倍を考えるとベクトルとして扱えます。最初は矢印と数の組を中心に学び、一般化は後で行います。

!横ベクトルと縦ベクトルを混ぜない

$(x,y)$ と $(x,y)^{\mathsf T}$ は成分が同じでも、行列計算では形が異なります。このサイトでは、行列を掛ける入力には原則として縦ベクトルを使います。

練習問題

Qベクトルの基本計算★☆☆

$$\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$$

について、$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$、$-2\boldsymbol{a}$ を求めてください。

HINTヒントを見る

対応する成分ごとに計算します。$-2\boldsymbol{a}$ では二つの成分の両方に $-2$ を掛けます。

ANS解答を見る

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix},\qquad -2\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}.$$

KEY要点のまとめ

• ベクトルは複数の数を一つにまとめて扱う対象
• $\mathbb{R}^2$ は二つの実数を成分にもつベクトル全体
• 加法・引き算・スカラー倍は成分ごとに計算する
• 零ベクトルはすべての成分が $0$ のベクトル
• 点とベクトルは役割が異なるが、座標では同じ数の組で表せる

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