行列の積

なぜ成分ごとに掛けないのか

行列はベクトルを別のベクトルへ移す規則を表せます。二つの規則を続けて行った結果も一つの行列で表したいので、行列積は「変換の合成」が正しく再現されるように定義されています。

内側の数 $n$ が一致する必要があり、外側の数 $m,p$ が結果のサイズになります。

具体的な計算を一般化します。 $A=(a_{ik})$ を $m\times n$ 行列、 $B=(b_{kj})$ を $n\times p$ 行列とすると、 $C=AB$ の第 $i$ 行第 $j$ 列成分は

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

です。総和記号は、 $A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列にある対応成分の積をすべて足すことを表します。

これは、操作を行う順番を変えると最終結果が変わることに対応します。先に $B$ 、後に $A$ を作用させる合成は $AB$ で表されます。

サイズの合う単位行列 $I$ は、どの行列 $A$ に対しても

IA=A,qquad AI=A

を満たします。単位行列はベクトルを変化させない変換を表します。

Q行列積を計算する★★☆

A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&4\\2&0\end{pmatrix}

について、 $AB$ と $BA$ を求め、等しいか確認してください。

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各成分について「左の行×右の列」を計算します。たとえば $AB$ の左上は $2\cdot1+1\cdot2$ です。

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AB=\begin{pmatrix}4&8\\5&-4\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}-2&13\\4&2\end{pmatrix}.

したがって $AB\ne BA$ です。

Q積が定義できるか判定する★☆☆

$A$ が $2\times3$ 行列、 $B$ が $3\times4$ 行列のとき、 $AB$ と $BA$ が定義できるか判定し、定義できる積のサイズを答えてください。

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内側の二つの数、つまり左の列数と右の行数を比較します。

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$A$ の列数3と $B$ の行数3が一致するので $AB$ は定義でき、サイズは $2\times4$ です。 $BA$ では $B$ の列数4と $A$ の行数2が一致しないため、定義できません。

Q積の順序で結果が変わる例★★★

A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}

について $AB$ と $BA$ を計算し、比較してください。

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各成分を「左の行と右の列」の積和で求めます。

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AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.

両者は一致しません。したがって、同じサイズの正方行列でも一般に $AB\ne BA$ です。