行列の積

30秒30秒で分かる要約

科目：線形代数難易度：入門学習時間：約30分

行列の積は、左の行と右の列を組み合わせて計算します。 左の列数と右の行数が一致するときだけ定義され、変換を続けて行う操作に対応します。

GOALこの記事で分かること

• 行列積が定義できるサイズ条件を判定できる
• 2×2行列どうしの積を計算できる
• 行列と列ベクトルの積を計算できる
• 一般に $AB\ne BA$ である理由を理解する

PRE前提知識

行列とはの行・列・成分と、ベクトルとはの基本計算を使います。

なぜ成分ごとに掛けないのか

行列はベクトルを別のベクトルへ移す規則を表せます。二つの規則を続けて行った結果も一つの行列で表したいので、行列積は「変換の合成」が正しく再現されるように定義されています。

IDEA左の行が、右の列を読み取る

積の一つの成分を求めるとき、左の行列から1行、右の行列から1列を選びます。対応する数を掛けて足した値が、新しい成分になります。

2×2行列の具体例

EX行と列を組み合わせる

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$$

とします。積 $AB$ は

$$AB=\begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}.$$

左上は $A$ の第1行と $B$ の第1列、右下は $A$ の第2行と $B$ の第2列から作られます。

積を作れるサイズ

DEF行列積のサイズ条件

$A$ が $m\times n$ 行列、$B$ が $n\times p$ 行列のとき、積 $AB$ を定義でき、結果は $m\times p$ 行列です。

$$\underbrace{(m\times n)}_A\underbrace{(n\times p)}_B \longrightarrow m\times p$$

内側の数 $n$ が一致する必要があり、外側の数 $m,p$ が結果のサイズになります。

EX片方の順序でしか積を作れない例

$A$ を $2\times3$ 行列、$B$ を $3\times4$ 行列とすると、$AB$ は $2\times4$ 行列として定義できます。一方、$BA$ では内側が $4$ と $2$ になり一致しないため、定義できません。

行列と列ベクトルの積

EX行列でベクトルを移す

$$A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$$

なら、

$$A\boldsymbol{x} =\begin{pmatrix}2\cdot4+(-1)\cdot2\\1\cdot4+3\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\10\end{pmatrix}.$$

$2\times2$ 行列と $2\times1$ 列ベクトルの積なので、結果は $2\times1$ 列ベクトルです。

一般の成分の式

具体的な計算を一般化します。$A=(a_{ik})$ を $m\times n$ 行列、$B=(b_{kj})$ を $n\times p$ 行列とすると、$C=AB$ の第 $i$ 行第 $j$ 列成分は

$$c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

です。総和記号は、$A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列にある対応成分の積をすべて足すことを表します。

順序を変えると結果が変わる

!一般に AB と BA は等しくない

行列積では順序が重要です。たとえば

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$$

なら、

$$AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}.$$

したがって $AB\ne BA$ です。

これは、操作を行う順番を変えると最終結果が変わることに対応します。先に $B$、後に $A$ を作用させる合成は $AB$ で表されます。

!成分ごとの積ではない

$AB$ の左上成分は一般に $a_{11}b_{11}$ だけではありません。左の第1行と右の第1列の対応成分を掛けて、すべて足します。

単位行列との積

サイズの合う単位行列 $I$ は、どの行列 $A$ に対しても

$$IA=A,qquad AI=A$$

を満たします。単位行列はベクトルを変化させない変換を表します。

練習問題

Q行列積を計算する★★☆

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&4\\2&0\end{pmatrix}$$

について、$AB$ と $BA$ を求め、等しいか確認してください。

HINTヒントを見る

各成分について「左の行×右の列」を計算します。たとえば $AB$ の左上は $2\cdot1+1\cdot2$ です。

ANS解答を見る

$$AB=\begin{pmatrix}4&8\\5&-4\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}-2&13\\4&2\end{pmatrix}.$$

したがって $AB\ne BA$ です。

KEY要点のまとめ

• $m\times n$ 行列と $n\times p$ 行列の積は $m\times p$ 行列
• 各成分は左の行と右の列の積和で求める
• 行列積は変換を続けて行う合成に対応する
• 一般に $AB\ne BA$ であり、片方だけ定義できることもある
• 単位行列は積における $1$ の役割をもつ

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