数列の極限とは
公開中数列の後半全体が一つの値へ近づく意味を学びます。
微分積分への入口
高校数学の「限りなく近づく」を厳密にし、一変数の微積分からベクトル解析の入口までを一続きで学びます。
公開中41記事、総学習時間の目安は約56時間50分です。
ε-N論法とは
公開中数列の収束を誤差εと開始位置Nで厳密に証明します。
関数の極限とは
公開中関数値との違い、左右極限、基本的な極限計算を学びます。
ε-δ論法とは
公開中関数の極限を入力誤差と出力誤差で厳密に証明します。
関数の連続性とは
公開中極限と関数値の一致、不連続、連続関数の定理を学びます。
微分係数と導関数とは
公開中差の商から瞬間変化率と接線の傾きを定義します。
基本的な微分公式
公開中べき・指数・対数・三角関数の公式を定義から整理します。
積・商・合成関数の微分
公開中積と商の公式、連鎖律、対数微分を使います。
ロルの定理と平均値の定理
公開中区間全体の変化と途中の接線を結ぶ定理を証明します。
関数の増減・極値・凹凸
公開中導関数と増減表から極値、凹凸、変曲点を調べます。
関数を多項式で近似し、剰余項で誤差を評価します。
原始関数と不定積分
公開中微分の逆操作と積分定数を学びます。
定積分とリーマン積分
公開中分割和の極限として符号付き積分を定義します。
微積分学の基本定理
公開中微分と積分が逆操作になる条件を学びます。
置換積分
公開中連鎖律を逆向きに使って変数変換します。
部分積分
公開中積の微分公式を逆向きに使います。
広義積分・級数編
Section titled “広義積分・級数編”広義積分
公開中無限区間や非有界関数の積分を極限で定めます。
無限級数とは
公開中部分和の極限として無限和を定義し、代表例を調べます。
正項級数の収束判定
公開中比較・比・根・積分の判定法を使い分けます。
符号が変わる級数の収束と誤差を調べます。
べき級数
公開中収束半径と端点を判定し、項別微分・積分を学びます。
多変数微分編
Section titled “多変数微分編”多変数関数・極限・連続性
公開中多変数の入力、等高線、経路とノルムによる極限を学びます。
偏微分とは
公開中他の変数を固定した変化率と混合偏導関数を学びます。
全微分・接平面・線形近似
公開中全方向を扱う線形近似とヤコビ行列、接平面を学びます。
多変数合成関数の連鎖律
公開中合成による変化をヤコビ行列の積で計算します。
方向微分と勾配
公開中任意方向の変化率、最大増加方向、等高線との直交を学びます。
ヘッセ行列と二階偏微分
公開中二階変化を行列と二次形式で捉えます。
勾配とヘッセ行列による二次近似を学びます。
多変数関数の極値判定
公開中臨界点を求め、局所最大・最小・鞍点を分類します。
陰関数と陰関数微分
公開中方程式が局所的に関数を定める条件と接線を学びます。
ラグランジュの未定乗数法
公開中等式制約付き極値の候補を勾配から求めます。
重積分と二重積分
公開中平面領域上のリーマン和から二重積分を定義します。
累次積分とフビニの定理
公開中断面を積分し、積分順序を正しく交換します。
座標変換による面積倍率をヤコビアンで補正します。
極座標による二重積分
公開中円盤・円環・扇形を面積要素r dr dθで積分します。
三重積分と円柱・球座標
公開中立体の体積・質量を円柱座標と球座標で計算します。
ベクトル解析入門
Section titled “ベクトル解析入門”ベクトル場・発散・回転
公開中ベクトル場の局所的な湧き出しと回転を測ります。
線積分とは
公開中曲線に沿うスカラー量と仕事を積分します。
保存力場とポテンシャル
公開中経路独立な線積分をポテンシャル差で計算します。
グリーンの定理
公開中平面領域の二重積分と境界線積分を結びます。
接ベクトルの外積から曲面積と流束を計算します。