微分積分への入口

まず結論

微分は「瞬間の変化率」、積分は「小さな量の積み重ね」です。どちらも極限という考え方によって厳密に定義されます。

微分係数

DEF微分係数

関数 $f$ の $x=a$ における微分係数は、極限が存在するとき $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ で定義されます。

EXf(x) = x² の場合

差の商を整理すると $\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h$ です。したがって $h\to0$ のとき $f'(a)=2a$ となります。

!よくある誤解

$h=0$ をそのまま代入しているのではありません。$h\ne0$ の値を通って、限りなく $0$ に近づけたときの振る舞いを見ています。

学習の道順

数列の極限 → 関数の極限 → $\varepsilon$-$\delta$ 論法 → 連続性 → 微分 → 平均値の定理 → 積分、と進みます。

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ε-δ論法とは — 「限りなく近づく」を誤差の言葉で厳密に表す方法を学びます（入門・約30分）。

Q練習問題★☆☆

定義を使って $f(x)=3x+1$ の微分係数を求めてください。