行列とは

なぜ行列が必要なのか

複数の方程式の係数や、複数の入力から複数の出力を作る規則は、一列の数だけでは表しにくくなります。行列は、それらを行と列の位置に意味を持たせて整理し、一度に計算するための道具です。

1行だけの行列を行ベクトル、1列だけの行列を列ベクトルと呼びます。このサイトでは通常、ベクトルを列ベクトルで表します。

すべての成分が $0$ の $m\times n$ 行列を零行列といい、文脈に応じて $O$ と書きます。同じサイズの行列 $A$ に対して $A+O=A$ です。

単位行列は、次の記事で学ぶ行列の積において数の $1$ と同じ役割を果たします。

連立一次方程式

\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=4\end{cases}

の係数は $\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}$ にまとめられます。また、行列をベクトルに掛けると、ベクトルを別のベクトルへ移す規則を表せます。行列は単なる数字の表ではなく、関係や変換を計算できる形にしたものです。

Q行列の読み取りと計算★☆☆

A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\4&3&5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2&2&1\\0&-1&3\end{pmatrix}

について、 $A$ のサイズ、 $a_{23}$ 、 $A+B$ 、 $-A$ を求めてください。

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$a_{23}$ は第2行第3列です。和とスカラー倍は対応する成分ごとに計算します。

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$A$ は $2\times3$ 行列で、 $a_{23}=5$ です。また、

A+B=\begin{pmatrix}0&1&1\\4&2&8\end{pmatrix},\qquad -A=\begin{pmatrix}-2&1&0\\-4&-3&-5\end{pmatrix}.

Q行列方程式を解く★★☆

B=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}5&1\\2&0\end{pmatrix}

のとき、 $2A-B=C$ を満たす行列 $A$ を求めてください。

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2A=B+C

と変形し、対応する成分ごとに計算します。

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A=\frac12(B+C)=\frac12\begin{pmatrix}6&0\\2&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&0\\1&1\end{pmatrix}.

Q成分から未知数を決める★★★

\begin{pmatrix}a+b&2a\\b&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&6\\2&1\end{pmatrix}

を満たす $a,b$ を求め、すべての成分が一致することを確認してください。

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右上と左下の成分からそれぞれ

a,b

を求めます。

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$2a=6$ から $a=3$ 、 $b=2$ です。このとき左上も $a+b=5$ 、右下も $1=1$ となるため、行列全体が一致します。