行列とは

30秒30秒で分かる要約

科目：線形代数難易度：入門学習時間：約25分

行列は、数を長方形に並べたものです。 数表として情報を整理するだけでなく、連立一次方程式の係数や、ベクトルを移す線形写像を表します。

GOALこの記事で分かること

• 行列の行数・列数・成分を読み取れる
• 同じサイズの行列の加法とスカラー倍を計算できる
• 零行列と単位行列の役割を説明できる
• 行ベクトルと列ベクトルを区別できる

PRE前提知識

ベクトルとはで、成分とスカラー倍を確認しておくとスムーズです。

なぜ行列が必要なのか

複数の方程式の係数や、複数の入力から複数の出力を作る規則は、一列の数だけでは表しにくくなります。行列は、それらを行と列の位置に意味を持たせて整理し、一度に計算するための道具です。

IDEA数を置く位置にも意味がある表

行列では、数そのものだけでなく「上から何行目、左から何列目にあるか」が重要です。同じ数を並べても、位置が変われば別の行列です。

行・列・成分

DEFm × n 行列

$m$ 本の行と $n$ 本の列からなる数の配列

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$$

を $m\times n$ 行列といいます。$a_{ij}$ は第 $i$ 行・第 $j$ 列の成分です。

EX行列のサイズと成分を読む

$$A=\begin{pmatrix}1&4&-2\\0&3&5\end{pmatrix}$$

は2行3列なので $2\times3$ 行列です。第1行第3列の成分は $a_{13}=-2$、第2行第2列の成分は $a_{22}=3$ です。

1行だけの行列を行ベクトル、1列だけの行列を列ベクトルと呼びます。このサイトでは通常、ベクトルを列ベクトルで表します。

行列の加法とスカラー倍

DEF行列の加法とスカラー倍

同じ $m\times n$ 行列 $A=(a_{ij})$、$B=(b_{ij})$ と実数 $c$ に対し、

$$A+B=(a_{ij}+b_{ij}),\qquad cA=(ca_{ij})$$

と定めます。どちらも対応するすべての成分について計算します。

EX行列の基本計算

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4&0\\2&-2\end{pmatrix}$$

なら、

$$A+B=\begin{pmatrix}5&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad 2A=\begin{pmatrix}2&4\\-2&6\end{pmatrix}.$$

!サイズの異なる行列は足せない

行列の加法には、すべての成分に対応相手が必要です。たとえば $2\times3$ 行列と $3\times2$ 行列の和は定義されません。含まれる数の個数が同じでも、形が違えば足せません。

零行列と単位行列

すべての成分が $0$ の $m\times n$ 行列を零行列といい、文脈に応じて $O$ と書きます。同じサイズの行列 $A$ に対して $A+O=A$ です。

DEF単位行列

対角成分が $1$、それ以外が $0$ の正方行列を単位行列といい、$I_n$ と書きます。たとえば

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

単位行列は、次の記事で学ぶ行列の積において数の $1$ と同じ役割を果たします。

行列は何を表すのか

連立一次方程式

$$\begin{cases}2x+y=5\\x-3y=4\end{cases}$$

の係数は $\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}$ にまとめられます。また、行列をベクトルに掛けると、ベクトルを別のベクトルへ移す規則を表せます。行列は単なる数字の表ではなく、関係や変換を計算できる形にしたものです。

!添字の順番に注意する

$a_{ij}$ は第 $i$ 行・第 $j$ 列です。「横が先」ではなく、行、列の順に読みます。

練習問題

Q行列の読み取りと計算★☆☆

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\4&3&5\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2&2&1\\0&-1&3\end{pmatrix}$$

について、$A$ のサイズ、$a_{23}$、$A+B$、$-A$ を求めてください。

HINTヒントを見る

$a_{23}$ は第2行第3列です。和とスカラー倍は対応する成分ごとに計算します。

ANS解答を見る

$A$ は $2\times3$ 行列で、$a_{23}=5$ です。また、

$$A+B=\begin{pmatrix}0&1&1\\4&2&8\end{pmatrix},\qquad -A=\begin{pmatrix}-2&1&0\\-4&-3&-5\end{pmatrix}.$$

KEY要点のまとめ

• $m\times n$ 行列は $m$ 行 $n$ 列の数の配列
• $a_{ij}$ は第 $i$ 行第 $j$ 列の成分
• 加法は同じサイズの行列について成分ごとに行う
• 零行列は加法の $0$、単位行列は行列積の $1$ にあたる
• 行列は連立方程式や線形写像を表す

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