単射・全射・全単射とは

まず三つの集合を区別する

方程式 $f(x)=y$ を解くとき、知りたいことは二つあります。「解は多くても一つか」と「どの $y$ に対しても解があるか」です。前者に対応するのが単射、後者に対応するのが全射です。両方が成立すれば、出力から入力を一意に戻せます。

$A=\{1,2,3\}$ 、 $B=\{a,b,c\}$ とします。

有限集合でも、定義域と終域の要素数が異なれば単射だけ、または全射だけになる場合があります。無限集合では要素数の直感に頼らず、必ず定義で判断します。

$h(x)=e^x$ という同じ式を考えます。

「全射か」は関数式だけでなく、終域まで含めて判断します。

写像	単射	全射	理由
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$	いいえ	いいえ	$f(1)=f(-1)$ 、負の数に届かない
$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$	いいえ	はい	出力はすべての非負実数に届くが、符号の異なる入力が潰れる
$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$	はい	はい	非負の範囲では一対一で、すべての非負実数に届く

最後の写像では、逆写像は $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$ です。

∵なぜ単射と全射の両方が必要か

$f$ が全単射なら、任意の $y\in B$ に対して $f(x)=y$ となる $x$ が全射性により存在し、単射性によりただ一つです。その唯一の $x$ を $g(y)$ と定めれば逆写像になります。

逆に逆写像 $g$ があれば、 $f(x_1)=f(x_2)$ の両辺に $g$ を作用させて $x_1=x_2$ となるので単射です。また任意の $y\in B$ に対し $x=g(y)$ とすれば $f(x)=f(g(y))=y$ なので全射です。

Q定義域と終域を意識して判定する★★☆

写像 $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ 、 $f(x)=(x-1)^2$ は単射・全射・全単射のどれですか。定義を使って理由も説明してください。

HINTヒントを見る

単射については、 $1$ から同じ距離にある二つの入力を考えます。全射については、任意の $y\ge0$ に対して $(x-1)^2=y$ を満たす実数 $x$ があるかを考えます。

ANS解答を見る

単射ではありません。たとえば $f(0)=1=f(2)$ ですが $0\ne2$ です。

全射です。任意の $y\in[0,\infty)$ に対して $x=1+\sqrt{y}\in\mathbb{R}$ と選べば $f(x)=y$ です。したがって、この写像は全射ですが単射ではなく、全単射でもありません。