単射・全射・全単射とは

単射では異なる入力が異なる出力へ進み、全射では終域の各要素へ矢印が届く対応図 — 単射は出力の重なりを防ぎ、全射は終域の取りこぼしを防ぎます。図では矢印とラベルの両方で違いを示しています。

まず三つの集合を区別する

なぜ分類するのか

方程式 $f(x)=y$ を解くとき、知りたいことは二つあります。「解は多くても一つか」と「どの $y$ に対しても解があるか」です。前者に対応するのが単射、後者に対応するのが全射です。両方が成立すれば、出力から入力を一意に戻せます。

正確な定義

有限集合の例

$A=\{1,2,3\}$ 、 $B=\{a,b,c\}$ とします。

有限集合でも、定義域と終域の要素数が異なれば単射だけ、または全射だけになる場合があります。無限集合では要素数の直感に頼らず、必ず定義で判断します。

実数上の例

同じ式でも終域で全射かどうかが変わる

$h(x)=e^x$ という同じ式を考えます。

$h:\mathbb{R}\to(0,\infty)$ は全射です。任意の $y>0$ に $x=\log y$ が対応します。
$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は全射ではありません。 $0$ 以下の実数には届かないからです。

「全射か」は関数式だけでなく、終域まで含めて判断します。

f(x) = x² を比較する

写像	単射	全射	理由
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$	いいえ	いいえ	$f(1)=f(-1)$ 、負の数に届かない
$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$	いいえ	はい	出力はすべての非負実数に届くが、符号の異なる入力が潰れる
$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$	はい	はい	非負の範囲では一対一で、すべての非負実数に届く

最後の写像では、逆写像は $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$ です。

逆写像との関係

∵なぜ単射と全射の両方が必要か

$f$ が全単射なら、任意の $y\in B$ に対して $f(x)=y$ となる $x$ が全射性により存在し、単射性によりただ一つです。その唯一の $x$ を $g(y)$ と定めれば逆写像になります。

逆に逆写像 $g$ があれば、 $f(x_1)=f(x_2)$ の両辺に $g$ を作用させて $x_1=x_2$ となるので単射です。また任意の $y\in B$ に対し $x=g(y)$ とすれば $f(x)=f(g(y))=y$ なので全射です。

よくある誤解

練習問題

Q定義域と終域を意識して判定する★★☆

写像 $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ 、 $f(x)=(x-1)^2$ は単射・全射・全単射のどれですか。定義を使って理由も説明してください。

HINTヒントを見る

単射については、 $1$ から同じ距離にある二つの入力を考えます。全射については、任意の $y\ge0$ に対して $(x-1)^2=y$ を満たす実数 $x$ があるかを考えます。

ANS解答を見る

単射ではありません。たとえば $f(0)=1=f(2)$ ですが $0\ne2$ です。

全射です。任意の $y\in[0,\infty)$ に対して $x=1+\sqrt{y}\in\mathbb{R}$ と選べば $f(x)=y$ です。したがって、この写像は全射ですが単射ではなく、全単射でもありません。

Q有限集合の写像を分類する★☆☆

$X=\{1,2,3\}$ 、 $Y=\{a,b,c\}$ とし、 $f(1)=a,f(2)=c,f(3)=b$ とします。 $f:X\to Y$ が単射・全射・全単射のどれか判定してください。

HINTヒントを見る

異なる入力の像が重ならないか、終域の各要素へ届くかを別々に確認します。

ANS解答を見る

三つの入力はそれぞれ異なる $a,c,b$ へ移るので単射です。また終域の $a,b,c$ のすべてが像として現れるので全射です。したがって全単射です。

Q合成写像から分かること★★★

$f:X\to Y$ 、 $g:Y\to Z$ とします。 $g\circ f$ が単射なら $f$ が単射であること、 $g\circ f$ が全射なら $g$ が全射であることを示してください。

HINTヒントを見る

前半は

f(x_1)=f(x_2)

と仮定します。後半は任意の

z\in Z

から始めます。

ANS解答を見る

$f(x_1)=f(x_2)$ なら $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ です。 $g\circ f$ の単射性から $x_1=x_2$ となるので、 $f$ は単射です。また任意の $z\in Z$ に対し、合成の全射性から $g(f(x))=z$ となる $x\in X$ が存在します。 $y=f(x)\in Y$ と置けば $g(y)=z$ なので、 $g$ は全射です。