絶対収束・条件収束・交代級数

絶対収束と条件収束

Q基本：絶対収束★☆☆

\sum\frac{(-1)^n}{n^3}

を分類してください。

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絶対値を付けてp級数にします。

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\sum\frac{1}{n^3}

は

p=3>1

で収束するので、元の級数は絶対収束します。

Q標準：条件収束★★☆

\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}

を分類してください。

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\frac{1}{\sqrt n}

の単調性とp級数を別々に見ます。

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\frac{1}{\sqrt n}

は単調減少して0へ向かうので交代級数判定により収束します。一方

\sum\frac{1}{\sqrt n}

は

p=\frac{1}{2}

で発散するため条件収束です。

Q発展：誤差評価★★★

交代調和級数を誤差

0.01

未満で近似するには、何項まで取れば十分ですか。

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\frac{1}{N+1}<0.01

を解きます。

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N+1>100

が必要なので、

N=100

では誤差は高々

\frac{1}{101}<0.01

。100項まで取れば十分です。