必要条件・十分条件・同値条件

含意の向きを読む

「 $P$ ならば $Q$ 」「 $P$ であれば $Q$ 」「 $P$ であるためには $Q$ が必要」「 $P$ only if $Q$ 」はいずれも $P\Rightarrow Q$ を表します。「 $P$ であるときに限り $Q$ 」は文脈で曖昧になりやすいので、数式で向きを確認します。

正方形であることは長方形であるための十分条件で、長方形であることは正方形であるための必要条件です。逆は一般に成り立ちません。

集合の包含 $A\subseteq B$ は $x\in A\Rightarrow x\in B$ がすべての $x$ で成り立つことです。条件を追加すると満たす対象が減るため「条件を強くする」、条件を外すと「弱くする」といいます。

元の命題 $P\Rightarrow Q$ と対偶 $\neg Q\Rightarrow\neg P$ は同値ですが、逆 $Q\Rightarrow P$ は一般に別です。

Q条件の向き★☆☆

「整数 $n$ が6の倍数なら3の倍数である」について必要条件・十分条件を答えてください。

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矢印は「6の倍数」から「3の倍数」です。

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6の倍数であることは3の倍数であるための十分条件、3の倍数であることは6の倍数であるための必要条件です。 $3$ が反例なので必要十分ではありません。

Q同値を両方向で示す★★☆

整数 $n$ について「 $n$ が奇数」と「 $n^2$ が奇数」が同値であることを示してください。

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一方は $n=2k+1$ を展開し、逆方向は対偶を使えます。

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$n=2k+1$ なら $n^2=2(2k^2+2k)+1$ で奇数です。逆は対偶を示します。 $n=2k$ なら $n^2=2(2k^2)$ で偶数なので、「 $n^2$ が奇数なら $n$ は奇数」です。

Q誤った同値を反例で調べる★★★

実数 $x$ について $x^2>x\Leftrightarrow x>1$ は正しいですか。

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$x^2>x$ を $x(x-1)>0$ とします。

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$x>1$ なら成立しますが、 $x<0$ でも $x(x-1)>0$ です。たとえば $x=-1$ が反例なので同値ではありません。正しくは $x^2>x\Leftrightarrow(x<0\text{ または }x>1)$ です。