定数係数二階同次方程式

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：標準学習時間：約110分

$ay''+by'+cy=0$ は、指数関数を代入して得る特性方程式の根によって3種類に分類できます。

GOALこの記事で分かること

• 3種類の特性根から一般解を作る
• 重根で $xe^{rx}$ が必要な理由を説明する
• 複素解を実数値の解へ直す

PRE前提知識

二階線形微分方程式の基本構造と複素数・オイラーの公式を使います。

特性方程式

$a\ne0$ として $ay''+by'+cy=0$ を考えます。指数関数は微分しても定数倍なので $y=e^{rx}$ を代入すると $(ar^2+br+c)e^{rx}=0.$ $e^{rx}\ne0$ より $ar^2+br+c=0$ が特性方程式です。

DEF根による一般解

• 異なる実根 $r_1,r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
• 実重根 $r$：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
• 複素根 $\alpha\pm i\beta$（$\beta>0$）：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

重根では $e^{rx}$ が1本しか得られないため、線形独立な第2解 $xe^{rx}$ が必要です。複素根ではオイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ により実部・虚部を実数解として使います。

EX異なる実根

$y''-3y'+2y=0$ の特性方程式は $(r-1)(r-2)=0$。よって $y=C_1e^x+C_2e^{2x}$。各指数関数の代入で $r^2-3r+2=0$ が確認できます。

EX重根

$y''-2y'+y=0$ は $(r-1)^2=0$ なので $y=(C_1+C_2x)e^x$。$xe^x$ を代入すると左辺は0です。

EX複素根の初期値問題

$y''+4y=0, y(0)=1, y'(0)=2$。根は $\pm2i$、一般解は $C_1\cos2x+C_2\sin2x$。初期条件から $C_1=1,2C_2=2$、したがって $y=\cos2x+\sin2x$。

根と長時間挙動

実部が負なら指数包絡は減衰し、正なら増大します。虚部 $\beta$ は角振動数です。実根の符号も増大・減衰を決めますが、係数による打ち消しや初期条件も確認します。

!よくある誤解

複素根 $\alpha\pm i\beta$ の虚部 $\beta$ と、$\cos(\beta x)$ の角振動数を一致させます。通常の周波数は $\frac{\beta}{2\pi}$ です。

練習問題

Q基本：異なる実根★☆☆

$y''+y'-2y=0$ を解いてください。

HINTヒントを見る

$(r+2)(r-1)=0$。

ANS解答を見る

$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。

Q標準：重根の初期値★★☆

$y''+4y'+4y=0, y(0)=1,y'(0)=0$。

HINTヒントを見る

$y=(C_1+C_2x)e^{-2x}$。

ANS解答を見る

$C_1=1$、$y'(0)=C_2-2C_1=0$ より $C_2=2$。$y=(1+2x)e^{-2x}$。

Q発展：複素根★★★

$y''-2y'+5y=0$ の一般解と長時間挙動を述べてください。

HINTヒントを見る

根は $1\pm2i$。

ANS解答を見る

$y=e^x(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。非零解は角振動数2で振動し、包絡 $e^x$ に従い増大します。

KEY要点のまとめ

• 特性多項式は $ar^2+br+c$
• 重根では $xe^{rx}$ が第2解
• 複素根の実部は包絡、虚部は角振動数を決める

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