テイラーの定理とテイラー展開

一次近似は $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),$ 二次近似は $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ です。 $\approx$ は近似であり、一般には等号ではありません。

∵証明

完全な証明では、 $x$ を固定し、 $f(x)-P_n(x)$ と同じ端点条件を持つ補助関数を作ります。ロルの定理を繰り返し適用すると、ある $\xi$ で $n+1$ 階導関数同士が一致し、上の剰余項が得られます。重要なのは、有限次数の等式には省略されていない剰余項が付くことです。

代表的な展開

0の近くでは

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots,

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots, \qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots.

また

\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\quad(-1<x\le1),

\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots\quad(|x|<1).

ここで無限の等号を主張するには剰余が0へ収束することの確認が必要です。有限多項式として使う場合は、指定した次数で打ち切って剰余を残します。

テイラー多項式は有限次数の代数式、テイラー級数は無限級数です。無限回微分可能でも級数と元の関数が一致するとは限りません。 $f(0)=0$ 、 $x\ne0$ で $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ とする関数は、0で全階導関数が0なのに0以外で正となる代表例です。

Qマクローリン多項式★☆☆

$e^x$ の3次マクローリン多項式を求めてください。

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すべての階の導関数の0での値は1です。

ANS解答を見る

P_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}

です。

Q近似値★★☆

$\cos0.2$ を二次近似し、値を求めてください。

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\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}

。

ANS解答を見る

1-\frac{0.2^2}{2}=0.98

です。これは近似値で、厳密な等号ではありません。

Q剰余項★★★

$e^{0.2}$ を一次多項式 $1+x$ で近似したときの誤差をラグランジュ型剰余項で上から評価してください。

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R_1=e^\xi \frac{x^2}{2}

、

0<\xi<0.2

。

ANS解答を見る

|R_1|<e^{0.2}\frac{(0.2)^2}{2}<1.222\cdot0.02<0.0245

です。したがって

e^{0.2}\approx1.2

の誤差は0.0245未満です。