コンテンツにスキップ
大学数学の道しるべ

累次積分とフビニの定理

累次積分とフビニの定理

Section titled “累次積分とフビニの定理”

縦線型領域は D={(x,y):a≤x≤b,,g1(x)≤y≤g2(x)}D=\{(x,y):a\le x\le b,,g_1(x)\le y\le g_2(x)\}、横線型領域は D={(x,y):c≤y≤d,,h1(y)≤x≤h2(y)}D=\{(x,y):c\le y\le d,,h_1(y)\le x\le h_2(y)\} と表します。

積分順序と領域の計算例

Section titled “積分順序と領域の計算例”

順序交換に関する注意

Section titled “順序交換に関する注意”

練習問題

Section titled “練習問題”
Q基本：長方形★☆☆
[0,1]×[0,2][0,1]\times[0,2] 上で xyxy を dy dxdy\,dx の順に積分してください。
HINTヒントを見る
先に yy を積分します。
ANS解答を見る
∫01[xy22]02 dx=∫012x dx=1\int_0^1[x \frac{y^2}{2}]_0^2\,dx=\int_0^12x\,dx=1 です。
Q標準：三角形★★☆
0≤y≤x≤20\le y\le x\le2 上で1を積分してください。
HINTヒントを見る
0≤x≤2,0≤y≤x0\le x\le2,0\le y\le x と読みます。
ANS解答を見る
∫02∫0x1 dy dx=∫02x dx=2\int_0^2\int_0^x1\,dy\,dx=\int_0^2x\,dx=2。三角形の面積とも一致します。
Q発展：順序交換★★★
∫01∫x1f(x,y) dy dx\int_0^1\int_{\sqrt x}^1f(x,y)\,dy\,dx を逆順にしてください。
HINTヒントを見る
x≤y\sqrt x\le y は x≤y2x\le y^2 です。
ANS解答を見る
領域は 0≤y≤1,0≤x≤y20\le y\le1,0\le x\le y^2。したがって ∫01∫0y2f(x,y) dx dy\int_0^1\int_0^{y^2}f(x,y)\,dx\,dy です。