陰関数と陰関数微分

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約85分

方程式 $F(x,y)=0$ は、適切な偏導関数が0でなければ、点の近くで $y$ を $x$ の滑らかな関数として定めます。

GOALこの記事で分かること

• 陰関数が局所的な概念だと説明できる
• 陰関数定理の仮定を確認できる
• 陰関数微分と接線を計算できる
• 大域的に関数にならない例を説明できる

PRE前提知識

多変数連鎖律と全微分を使います。

陰関数定理の考え方

IDEA方程式を局所的に解く

円 $x^2+y^2=1$ は全体では1つの $y(x)$ になりませんが、上半円の各点の近くでは $y=\sqrt{1-x^2}$ と書けます。陰関数定理はこの局所表示を保証します。

THM二変数の陰関数定理

$F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ が $(a,b)$ の近傍で $C^1$、$F(a,b)=0$、$F_y(a,b)\ne0$ とします。すると $a$ の近傍で一意な $C^1$ 関数 $y=\varphi(x)$ が存在し、$\varphi(a)=b$、$F(x,\varphi(x))=0$ となります。さらに $\varphi'(x)=-\frac{F_x(x,\varphi(x))}{F_y(x,\varphi(x))}.$

この公式は $F(x,\varphi(x))=0$ を連鎖律で微分し、$F_x+F_y\varphi'=0$ として得ます。分母が0でないという仮定が必要です。

陰関数微分の例

EX円の接線

$F=x^2+y^2-1$、点 $(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ では $F_y=\frac{8}{5}\ne0$。 $y'=-\frac{2x}{2y}=-\frac{x}{y}=-\frac34.$ したがって接線は $y-\frac{4}{5}=-(\frac{3}{4})(x-\frac{3}{5})$ です。

EX複数変数の場合

$F:\mathbb R^{n+m}\to\mathbb R^m$ では、解きたい $m$ 変数に関するヤコビ行列が点で可逆なら、それらを残りの $n$ 変数の局所関数として解けます。

局所表示に関する注意

!よくある誤解

円の左右端 $(\pm1,0)$ では $F_y=0$ なので $y$ を $x$ の関数として扱う定理は使えません。ただし $F_x\ne0$ なので、今度は $x$ を $y$ の関数として表せます。局所表示を大域表示と混同しないでください。

練習問題

Q基本★☆☆

$x^2+xy+y^2=3$ 上で $\frac{dy}{dx}$ を求めてください。

HINTヒントを見る

両辺を $x$ で微分します。

ANS解答を見る

$2x+y+xy'+2yy'=0$ より $y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$。分母が0でない点で有効です。

Q標準★★☆

前問の点 $(1,1)$ における接線を求めてください。

HINTヒントを見る

傾きは $-1$ です。

ANS解答を見る

$y'=-\frac{3}{3}=-1$ なので $y-1=-(x-1)$、すなわち $x+y=2$ です。

Q発展★★★

$e^{xy}+y-2=0$ が $(0,1)$ の近くで $y(x)$ を定めることと $y'(0)$ を示してください。

HINTヒントを見る

$F_y=xe^{xy}+1$ です。

ANS解答を見る

$F(0,1)=0$、$F_y(0,1)=1\ne0$ なので定理が使えます。$F_x=ye^{xy}$ より $y'(0)=-1$ です。

KEY要点のまとめ

• 陰関数定理は局所的な関数表示を保証する
• $C^1$ と解く変数側の偏導関数が非零という仮定が必要
• 導関数は連鎖律から得る
• 全体で一価関数になるとは限らない

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