関数の連続性とは

「グラフを切らずに描ける」はよい直感ですが、複雑な関数には厳密な定義が必要です。

連続性の定義

集合上で連続とは各点で連続なことです。区間端点では区間内からの片側連続を使います。多項式、 $|x|$ は全実数で連続。有理関数は分母が0でない点で連続です。和・積・合成、分母が0でない商でも連続性が保たれます。

穴を埋めれば直るものを除去可能不連続、左右極限が異なるものを跳躍不連続、値が無限に大きくなるものを無限不連続と呼びます。

開区間 $(0,1)$ の $f(x)=x$ は最大値を取らないので、閉区間という仮定が重要です。一般証明は実数の完備性に依存します。

Q連続性の判定★☆☆

$f(x)=\frac{1}{x}$ はどこで連続ですか。

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分母が0の点を除きます。

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$(-\infty,0)$ と $(0,\infty)$ の各点で連続です。0では関数値が未定義です。

Q定数を決める★★☆

$f(x)=2x+c$ （ $x<1$ ）、 $f(x)=x^2$ （ $x\ge1$ ）を1で連続にするcを求めてください。

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左極限と $f(1)$ を等しくします。

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$2+c=1$ より $c=-1$ です。

Q仮定を点検する★★★

$(0,1)$ 上の連続関数は必ず最大値を持つ、を検討してください。

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$f(x)=x$ 。

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偽です。 $f(x)=x$ は連続ですが1を取らず、最大値がありません。