定数変化法

導出

必ず標準形 $y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$ へ直し、同次方程式の基本解系を $y_1,y_2$ とします。 $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ と置きます。未知関数が2つある自由度を整理するため $u_1'y_1+u_2'y_2=0$ を補助条件にします。微分して方程式へ代入すると $u_1'y_1'+u_2'y_2'=r.$ したがって $\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1'\\u_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\r\end{pmatrix}.$

基本解の順序を交換すると $W$ の符号も変わり、最終的な特殊解は同値になります。初期値問題では、 $x_0$ から $x$ までの定積分を使うと特殊解とその導関数が $x_0$ で0になり、定数決定が整理しやすくなります。これは後にグリーン関数へつながります。

練習問題

Q基本：公式の確認★☆☆

y''+y=r(x)

、

y_1=\cos x,y_2=\sin x

の

u_1',u_2'

を求めてください。

HINTヒントを見る

W=1

。

ANS解答を見る

u_1'=-r(x)\sin x, u_2'=r(x)\cos x

。

Q標準：指数基本解★★☆

y''-y=\frac{1}{x}

（

x>0

）の特殊解を積分表示してください。

HINTヒントを見る

y_1=e^x,y_2=e^{-x},W=-2

。

ANS解答を見る

u_1'=\frac{e^{-x}}{2x}, u_2'=-\frac{e^x}{2x}

。したがって

y_p=\frac{e^x}{2}\int \frac{e^{-x}}{x}\,dx-\frac{e^{-x}}2\int \frac{e^x}{x}\,dx

。初等関数に積分できなくても有効です。

Q発展：完全計算★★★

y''+y=\csc x

（

0<x<\pi

）の特殊解を求めてください。

HINTヒントを見る

u_1'=-1, u_2'=\cot x

。

ANS解答を見る

u_1=-x,u_2=\log(\sin x)

と選び、

y_p=-x\cos x+\sin x\log(\sin x)

。公式から構成したので代入すると

y_p''+y_p=\csc x

。