多変数合成関数の連鎖律

一変数では $(f\circ g)'(t)=f'(g(t))g'(t)$ でした。多変数でも「後の写像の微分」から「先の写像の微分」へ、合成した順序の逆ではなく、写像を作用させる順序に行列を掛けます。

多変数の連鎖律

連鎖律は、 $F(x,y)=0$ から局所的に $y$ を $x$ の関数として扱う陰関数微分や、極座標などの座標変換にもつながります。陰関数定理そのものは後の単元で扱います。

Q基本：曲線との合成★☆☆

f(x,y)=xy

、

x=t^2,y=\sin t

の

\frac{d(f\circ r)}{dt}

を求めてください。

HINTヒントを見る

f_x=y,f_y=x

を使います。

ANS解答を見る

f_xx'+f_yy'=\sin t\cdot2t+t^2\cos t

です。直接

t^2\sin t

を微分しても一致します。

Q標準：2つの中間変数★★☆

z=x^2+y

、

x=u-v,y=uv

の

z_u,z_v

を求めてください。

HINTヒントを見る

z_x=2x,z_y=1

です。

ANS解答を見る

z_u=2(u-v)+v=2u-v

、

z_v=2(u-v)(-1)+u=-u+2v

です。

Q発展：ヤコビ行列★★★

F(x,y,z)=(x+y,yz)

と

G(t)=(t,t^2,e^t)

の合成の微分を行列で求めてください。

HINTヒントを見る

J_F

は

2\times3

、

J_G

は

3\times1

です。

ANS解答を見る

J_F=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&z&y\end{pmatrix},\quad J_G=\begin{pmatrix}1\\2t\\e^t\end{pmatrix}.

G(t)

を代入して掛けると

\begin{pmatrix}1+2t\\2te^t+t^2e^t\end{pmatrix}

です。