方向微分と勾配

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約85分

方向微分は任意方向への変化率で、全微分可能な関数では勾配との内積になります。勾配は最も増える向きを示します。

GOALこの記事で分かること

• 定義から方向微分を求められる
• 方向ベクトルを正規化できる
• 勾配から最大増加率を求められる
• 等高線と勾配の直交を説明できる

PRE前提知識

全微分と多変数連鎖律を使います。

勾配は等高線に直交し、関数値が最も速く増える方向を指します。矢印の長さは最大方向微分の大きさです。

方向微分と勾配の定義

DEF方向微分

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$、点 $\boldsymbol a$、単位ベクトル $\boldsymbol u$ に対して $D_{\boldsymbol u}f(\boldsymbol a)=\lim_{t\to0}\frac{f(\boldsymbol a+t\boldsymbol u)-f(\boldsymbol a)}t$ を $\boldsymbol u$ 方向の方向微分と呼びます。本サイトでは方向だけを比較するときは $\|\boldsymbol u\|=1$ とします。非零ベクトル $\boldsymbol v$ が与えられたら $\boldsymbol u=\frac{\boldsymbol v}{\|\boldsymbol v\|}$ に正規化します。正規化せず $D_{\boldsymbol v}$ と書く流儀では、速さ $\|\boldsymbol v\|$ まで含む値になります。

方向微分の計算例

EX定義から方向微分を求める

$f(x,y)=x^2+y^2$、$\boldsymbol a=(1,2)$、$\boldsymbol u=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ とします。 $\frac{f(1+\frac{3t}{5},2+\frac{4t}{5})-f(1,2)}t=\frac{22}{5}+t.$ したがって $D_{\boldsymbol u}f(1,2)=\frac{22}{5}$ です。

DEF勾配

$\nabla f(\boldsymbol a)=\begin{pmatrix}f_{x_1}(\boldsymbol a)\\\vdots\\f_{x_n}(\boldsymbol a)\end{pmatrix}$ を勾配ベクトルと呼びます。座標軸方向 $\boldsymbol e_i$ の方向微分は偏微分 $D_{\boldsymbol e_i}f=f_{x_i}$ です。

THM方向微分と勾配

$f$ が $\boldsymbol a$ で全微分可能なら、任意の単位ベクトル $\boldsymbol u$ に対して $D_{\boldsymbol u}f(\boldsymbol a)=\nabla f(\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol u.$ コーシー・シュワルツの不等式より $D_{\boldsymbol u}f\le\|\nabla f\|.$ $\nabla f\ne0$ なら最大値 $\|\nabla f\|$ は $\boldsymbol u=\frac{\nabla f}{\|\nabla f\|}$ で達成されます。勾配が0なら一次の方向変化はすべて0ですが、極値とは限りません。

EX等高線への直交

$f(x,y)=x^2+2y^2$ の等高線は楕円で、$\nabla f=(2x,4y)$ です。点 $(1,1)$ では勾配 $(2,4)$。等高線 $x^2+2y^2=3$ 上の接ベクトル $\boldsymbol v$ に沿って値は変わらないので $\nabla f(1,1)\cdot\boldsymbol v=0.$ したがって勾配は等高線に直交します。グラフ $z=f(x,y)$ の接平面では $(-f_x,-f_y,1)$ が法線ベクトルです。

微分可能性と方向に関する注意

!よくある誤解

$q(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^3}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ では原点のすべての方向微分が存在し、単位ベクトル $\boldsymbol u=(u_1,u_2)$ に対して $D_{\boldsymbol u}q(0)=u_1^3$ です。しかしこれは $\boldsymbol u$ の線形関数ではないので、原点で全微分可能ではありません。方向微分の存在だけで勾配公式を使ってはいけません。

最適化では、$-\nabla f$ 方向へ小さく進む最急降下法が使われます。次には、勾配が0となる点や二階偏導関数を使う多変数関数の極値を学びます。

練習問題

Q基本：正規化と方向微分★☆☆

$f(x,y)=3x-y$ を $(0,0)$ から方向 $(1,2)$ へ進む単位方向の方向微分を求めてください。

HINTヒントを見る

$(1,2)$ の長さは $\sqrt5$ です。

ANS解答を見る

$\boldsymbol u=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$、$\nabla f=(3,-1)$。よって $D_{\boldsymbol u}f=\frac{3-2}{\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}$ です。

Q標準：最大増加方向★★☆

$f(x,y)=x^2+xy$ の $(1,2)$ における最大増加方向と最大方向微分を求めてください。

HINTヒントを見る

$\nabla f=(2x+y,x)$ です。

ANS解答を見る

$\nabla f(1,2)=(4,1)$。最大増加の単位方向は $\frac{1}{\sqrt{17}}\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$、最大方向微分は $\sqrt{17}$ です。

Q発展：等高線との直交★★★

$f(x,y)=xy$ の等高線 $xy=2$ 上の点 $(1,2)$ で、接ベクトル $(1,-2)$ と勾配が直交することを確認してください。

HINTヒントを見る

$\nabla f=(y,x)$ です。

ANS解答を見る

$\nabla f(1,2)=(2,1)$ で、$(2,1)\cdot(1,-2)=2-2=0$。したがって接ベクトルと勾配は直交します。

KEY要点のまとめ

• 方向だけを表すときは方向ベクトルを単位化する
• 全微分可能なら方向微分は勾配との内積
• 勾配は最大増加方向で、そのノルムが最大変化率
• 方向微分がすべて存在しても全微分可能とは限らない

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