変数分離形

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：標準学習時間：約95分

$y'=f(x)g(y)$ では、$x$ と $y$ に関する量を左右へ分けて積分します。 ただし $g(y)$ で割る前に、$g(y)=0$ となる定数解を必ず調べます。

GOALこの記事で分かること

• 変数分離形を見分けて一般解を求められる
• 失われる定数解と対数の絶対値を扱える
• 初期条件から解と最大存在区間を決められる
• ロジスティック成長と有限時間発散を計算できる

PRE前提知識

常微分方程式とは、原始関数、置換積分を使います。

IDEA直感

変化率が「$x$ だけの要因」と「現在の状態 $y$ だけの要因」の積なら、両者を別々に積分できます。

DEF変数分離形

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ の形を変数分離形といいます。$g(y)\ne0$ の範囲で $\frac{1}{g(y)}\,dy=f(x)\,dx$ として両辺を積分します。$\frac{dy}{dx}$ を分数のように扱うのは計算を導く形式的記法であり、正当化は合成関数の微分と置換積分に基づきます。

指数成長・減衰

EX初期値問題を最後まで解く

$y'=-2y, y(1)=3$ を考えます。$y\ne0$ で $\frac{dy}{y}=-2\,dx,\qquad \log|y|=-2x+C.$ 指数を取ると $y=Ae^{-2x}$。初期条件から $A=3e^2$ なので $y=3e^{-2(x-1)}.$ 微分すると $y'=-6e^{-2(x-1)}=-2y$。全実数上で有効です。また、割る前に確認した $y=0$ も定数解です。

対数積分では $\int \frac{dy}{y}=\log|y|+C$ です。ただし指数化後の正負は任意定数 $A$ に吸収できます。

ロジスティック方程式

個体数 $y$、成長率 $r>0$、環境収容力 $K>0$ に対して $y'=ry\left(1-\frac yK\right)$ を考えます。定数解は $y=0,K$。それ以外では部分分数分解により $\frac{K}{y(K-y)}=\frac1y+\frac1{K-y}$ だから

$$\log\left|\frac{y}{K-y}\right|=rx+C,\qquad y=\frac{K}{1+Ae^{-rx}}.$$

初期値 $y(0)=y_0$（$y_0\ne0$）なら $A=\frac{K-y_0}{y_0}$ です。分母が0にならない、初期点を含む区間が存在区間です。特に $0<y_0<K$ なら全実数で定義され、$x\to\infty$ で $K$ へ近づきます。

有限時間で発散する解

EXy'=y², y(0)=1

$y=0$ は定数解です。$y\ne0$ では $\int y^{-2}\,dy=\int dx,\qquad -\frac1y=x+C.$ $y(0)=1$ から $C=-1$、したがって $y=\frac1{1-x}.$ $x=1$ で発散するので、初期点を含む最大存在区間は $(-\infty,1)$ です。

積分後に $F(y)=G(x)+C$ のような陰関数形しか得られないこともあります。それでも微分して元の方程式へ戻せれば立派な解の表現です。

!よくある誤解

$g(y)$ で割ると $g(y)=0$ の定数解を失います。初期条件を入れた後は、分母・対数・平方根などから最大存在区間を改めて決めてください。

練習問題

Q基本：定数解★☆☆

$y'=x(y-2)$ の定数解を求め、非定数解の一般形も求めてください。

HINTヒントを見る

$y-2$ で割る前に確認します。

ANS解答を見る

定数解は $y=2$。非定数解は $\frac{dy}{y-2}=x\,dx$ より $\log|y-2|=\frac{x^2}{2}+C$、したがって $y=2+Ae^{\frac{x^2}{2}}$ です。$A=0$ とすれば定数解も含められます。

Q標準：ロジスティック方程式★★☆

$y'=y(1-y), y(0)=\frac{1}{2}$ を解き、長時間挙動を答えてください。

HINTヒントを見る

$K=r=1$ の公式を使えます。

ANS解答を見る

$A=\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$ より $y=\frac{1}{1+e^{-x}}$。代入すると $y'=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=y(1-y)$。全実数上で定義され、$x\to\infty$ で1へ近づきます。

Q発展：有限時間発散★★★

$y'=2xy^2, y(0)=1$ を解き、最大存在区間を求めてください。

HINTヒントを見る

$y^{-2}dy=2x\,dx$。

ANS解答を見る

$-\frac{1}{y}=x^2+C$、初期条件から $C=-1$。よって $y=\frac{1}{1-x^2}$。微分すると $\frac{2x}{(1-x^2)^2}=2xy^2$。特異点は $x=\pm1$ なので、初期点0を含む最大存在区間は $(-1,1)$ です。

KEY要点のまとめ

• $y'=f(x)g(y)$ を左右に分けて積分する
• 割る前に $g(y)=0$ の定数解を確認する
• $\log|y|$ の絶対値を落とさない
• 初期条件と最大存在区間まで決めて初期値問題が完了する

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