積・商・合成関数の微分

∵証明

積では差の商へ $f(x+h)g(x)$ を足して引くと

\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}h =\frac{f(x+h)-f(x)}h g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h.

微分可能なら連続なので $g(x+h)\to g(x)$ 。極限を取れば積の公式です。商は $\frac{1}{g}$ の差の商から $(\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}$ を求め、積の公式を使います。

合成関数と連鎖律

∵証明

$k=g(x+h)-g(x)$ とします。 $k\ne0$ の場合は差の商を

\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot\frac{k}{h}

と分けられます。 $k=0$ の場合も第一因子を $f'(g(x))$ と補って同じ形に定義できます。 $h\to0$ なら $k\to0$ なので、二つの因子はそれぞれ $f'(g(x))$ と $g'(x)$ へ収束します。これは $\frac{dy}{dx}=(\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})$ という記号的直感を正当化しますが、 $dy,dx$ を無条件に通常の数として約分した証明ではありません。

対数微分

$y=x^x$ （ $x>0$ ）に対し $\log y=x\log x$ として微分すると $\frac{y'}y=\log x+1,$ よって $y'=x^x(\log x+1).$ 対数微分は多数の積や変数を含む指数に有効です。

陰関数微分では、たとえば $x^2+y^2=1$ の両辺を $x$ で微分して $2x+2yy'=0$ とします。逆関数では、必要な微分係数が0でなければ $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}$ です。これらは発展的な使い方です。

練習問題

Q積の微分★☆☆

$f(x)=x^3\cos x$ を微分してください。

HINTヒントを見る

積の二つの項を作ります。

ANS解答を見る

f'(x)=3x^2\cos x-x^3\sin x

です。

Q多段の連鎖律★★☆

$g(x)=e^{\sin(x^2)}$ を微分してください。

HINTヒントを見る

指数、正弦、二乗の順に外側から微分します。

ANS解答を見る

g'(x)=e^{\sin(x^2)}\cos(x^2)\cdot2x

です。

Q公式の条件★★★

$h(x)=\log(1-x^2)$ の定義域と導関数を求めてください。

HINTヒントを見る

1-x^2>0

が必要です。

ANS解答を見る

定義域は

-1<x<1

。連鎖律から

h'(x)=-\frac{2x}{1-x^2}

です。式だけなら他の点でも書けますが、元の実関数は定義されません。