部分積分

部分積分の公式

∵証明

積の微分 $(uv)'=u'v+uv'$ を使い、連続な導関数を基本定理によって積分して移項します。

Q多項式と指数★☆☆

$\int x^2e^xdx$ 。

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2回繰り返します。

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$x^2e^x-2\int xe^xdx=e^x(x^2-2x+2)+C$ 。

Q定積分★★☆

$\int_0^{\pi}x\sin xdx$ 。

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$u=x,dv=\sin xdx$ 。

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$[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos xdx=\pi$ 。

Q使い分け★★★

$\int2xe^{x^2}dx$ に部分積分より置換が自然な理由を説明してください。

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内側とその導関数があります。

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$u=x^2$ とすれば直ちに $e^{x^2}+C$ 。部分積分では式が単純にならず、連鎖律の逆が直接見えます。