関係と同値関係

二項関係

等号 $=$ 、大小 $\le$ 、整除 $\mid$ は関係です。日常語よりも、どの順序対を選ぶかが正確に指定されています。写像も関係として表せますが、各入力に出力がちょうど一つという追加条件があります。すべての関係が写像ではありません。

等号は同値関係です。整数 $a,b$ に対し、 $n\ge2$ を固定して $a\equiv b\pmod n\iff n\mid(a-b)$ と定める合同関係も同値関係です。

法3なら $[0]=\{\ldots,-3,0,3,\ldots\},\quad [1],\quad[2]$ の三つの剰余類があります。 $[0]=[3]$ ですが、代表元0と集合 $[0]$ は別の対象です。

逆に、集合を空でない互いに素な部分集合へ分割し、「同じ部分に属する」と定めれば同値関係になります。同値類全体の集合を商集合 $A/{\sim}$ といいます。

商集合上で写像を定義するときは、代表元を別のものに変えても値が変わらないwell-defined性を確かめます。

Q関係の性質★☆☆

整数上の関係 $aRb\iff a-b$ が偶数、について三条件を判定してください。

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法2の合同関係です。

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反射・対称・推移をすべて満たすので同値関係です。同値類は偶数全体と奇数全体です。

Q同値類★★☆

法4の合同関係について $[1]$ を書き、 $[1]=[5]$ を説明してください。

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4で割った余りが1の整数を集めます。

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$[1]=\{4k+1\mid k\in\mathbb Z\}$ です。 $5-1=4$ は4の倍数なので $1\equiv5\pmod4$ 、したがって同値類は一致します。

Q反例で調べる★★★

実数上の関係 $aRb\iff a<b$ は同値関係ですか。

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反射律を確認します。

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$a<a$ は成り立たないため反射律を満たさず、同値関係ではありません。推移律は満たしますが、それだけでは不十分です。