偏微分とは

二階偏導関数

$f_x$ をさらに $x$ または $y$ で偏微分して $f_{xx},f_{xy}$ を得ます。すべてを並べた行列は後でヘッセ行列と呼ばれ、極値判定などに使われます。

偏微分方程式は、未知関数とその偏導関数の関係を表す方程式です。例えば熱方程式 $u_t=ku_{xx}$ は温度の時間変化を記述します。詳しい解法は本記事の範囲外です。

Q基本：一階偏微分★☆☆

f(x,y)=x^3y^2+4y

の

f_x,f_y

を求めてください。

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微分しない変数を定数として扱います。

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f_x=3x^2y^2

、

f_y=2x^3y+4

です。

Q標準：混合偏微分★★☆

f(x,y)=e^x\cos y

の

f_{xy},f_{yx}

を求めてください。

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まず

f_x

と

f_y

を別々に求めます。

ANS解答を見る

f_x=e^x\cos y

なので

f_{xy}=-e^x\sin y

。

f_y=-e^x\sin y

なので

f_{yx}=-e^x\sin y

。連続なので一致します。

Q発展：定義から計算★★★

f(x,y)=xy+y^2

の点

(1,2)

における

x

偏微分係数を定義から求めてください。

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\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h}

を計算します。

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f(1+h,2)=2(1+h)+4=6+2h

、

f(1,2)=6

なので差商は2。極限も2です。