命題と論理記号

30秒30秒で分かる要約

科目：集合・論理難易度：入門学習時間：約50分

命題は、真か偽かが定まる文です。 論理記号を使うと、複雑な数学の主張を組み立て、否定や対偶を正確に扱えます。

GOALこの記事で分かること

• 命題と命題でない文を区別できる
• 五つの論理記号の真理値表を読める
• 含意が偽になる場合を説明できる
• 逆・裏・対偶を区別し、対偶同値を使える

PRE前提知識

集合の演算とド・モルガンの法則を使います。

命題と真理値

DEF命題

真または偽のどちらかが定まる文を命題といいます。その真・偽を真理値と呼びます。

「2は偶数である」は真の命題、「5は偶数である」は偽の命題です。「何時ですか」という疑問文や「計算せよ」という命令文は命題ではありません。$x>2$ も $x$ の範囲や値が未指定なら、通常は真偽が定まりません。

論理記号

DEF基本的な論理演算

命題 $P,Q$ に対し、$\neg P$ は「$P$ でない」、$P\land Q$ は「$P$ かつ $Q$」、$P\lor Q$ は「$P$ または $Q$」、$P\Rightarrow Q$ は「$P$ ならば $Q$」、$P\Leftrightarrow Q$ は「$P$ と $Q$ は同値」と読みます。

$P$	$Q$	$\neg P$	$P\land Q$	$P\lor Q$	$P\Rightarrow Q$	$P\Leftrightarrow Q$
真	真	偽	真	真	真	真
真	偽	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真	偽
偽	偽	真	偽	偽	真	真

論理和 $P\lor Q$ は、通常は両方が真の場合も含む「少なくとも一方」です。

含意を理解する

IDEA約束が破られる場合

$P\Rightarrow Q$ は「$P$ が起きた場合には必ず $Q$ も起きる」という主張です。破られるのは、$P$ が真なのに $Q$ が偽の場合だけです。

前件 $P$ が偽なら、主張に反する例は発生していないので含意は真と定めます。たとえば「4より大きい偶数 $n$ がある条件を満たすなら…」を対象が存在しない範囲で述べると、自動的に反例がなく真になることがあります。これを空虚な真と呼びます。

「ならば」は数学的条件の関係で、時間的・物理的な因果関係を必ず表すわけではありません。

逆・裏・対偶

$P\Rightarrow Q$ に対し、

• 逆：$Q\Rightarrow P$
• 裏：$\neg P\Rightarrow\neg Q$
• 対偶：$\neg Q\Rightarrow\neg P$

です。

THM命題と対偶は同値

$$(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow(\neg Q\Rightarrow\neg P).$$

∵証明

真理値表で $P,Q$ の4通りを調べると、両方の含意は常に同じ真理値を持ちます。また $P\Rightarrow Q$ は $\neg P\lor Q$ と同値で、対偶は $Q\lor\neg P$ と書けるので、論理和の交換法則からも分かります。

逆は一般には同値ではありません。「$n$ が4の倍数なら $n$ は偶数」は真ですが、その逆「$n$ が偶数なら4の倍数」は $n=2$ が反例です。

THM論理のド・モルガンの法則

$$\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P\lor\neg Q),$$$$\neg(P\lor Q)\Leftrightarrow(\neg P\land\neg Q).$$

これは集合で $\cap$ が「かつ」、$\cup$ が「または」、補集合が「否定」に対応することと同じ構造です。

必要条件・十分条件では、$P\Rightarrow Q$ のとき「$P$ は $Q$ の十分条件」「$Q$ は $P$ の必要条件」といいます。詳しくは必要条件・十分条件・同値条件で整理します。

!含意と逆を混同しない

$P\Rightarrow Q$ が真でも $Q\Rightarrow P$ が真とは限りません。同値を主張するには両方向を示す必要があります。

練習問題

Q真理値を求める★☆☆

$P$ が真、$Q$ が偽のとき、$\neg P$、$P\lor Q$、$P\Rightarrow Q$、$Q\Rightarrow P$ の真理値を求めてください。

HINTヒントを見る

含意が偽なのは前件が真、後件が偽のときだけです。

ANS解答を見る

$\neg P$ は偽、$P\lor Q$ は真、$P\Rightarrow Q$ は偽、$Q\Rightarrow P$ は真です。

Q対偶を作る★★☆

実数 $x$ について「$x^2<1$ ならば $-1<x<1$」の対偶を書き、なぜ元の命題と同値か説明してください。

HINTヒントを見る

$-1<x<1$ の否定は $x\le-1$ または $x\ge1$ です。

ANS解答を見る

対偶は「$x\le-1$ または $x\ge1$ ならば $x^2\ge1$」です。$P\Rightarrow Q$ と $\neg Q\Rightarrow\neg P$ は真理値が常に一致するため、対偶を証明すれば元の命題も証明されます。

Q同値を二つの含意で表す★★★

真理値表または論理式の変形を使って

$$(P\Leftrightarrow Q)\Leftrightarrow\bigl((P\Rightarrow Q)\land(Q\Rightarrow P)\bigr)$$

を確認してください。

HINTヒントを見る

$P,Q$ が同じ真理値の場合と、異なる真理値の場合に分けます。

ANS解答を見る

$P,Q$ がともに真なら二つの含意はともに真で、両方が偽の場合も前件が偽になる含意を含めて二つとも真です。一方、真理値が異なる場合は、真から偽へ向かう方の含意が偽です。したがって右辺は $P,Q$ の真理値が一致するときだけ真となり、$P\Leftrightarrow Q$ と一致します。

KEY要点のまとめ

• 命題は真偽が定まる文
• 論理和は両方が真の場合も含む
• 含意が偽なのは前件が真、後件が偽のときだけ
• 命題と対偶は同値だが、逆は一般に同値でない
• 集合演算と論理演算は対応する

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