対角化とは

30秒30秒で分かる要約

科目：線形代数難易度：発展学習時間：約65分

対角化は、固有ベクトルを新しい基底に選び、複雑な線形変換を各座標の倍率変換へ変えることです。 成功すると行列のべき乗などを大幅に簡単化できます。

GOALこの記事で分かること

• $P^{-1}AP=D$ の各行列の役割を説明できる
• 固有値・固有ベクトルから $P,D$ を組み立てられる
• 2×2行列を完全に対角化して検算できる
• 対角化可能性と重複固有値・逆行列の違いを理解する

PRE前提知識

固有値・固有ベクトルとはと基底と次元を使います。

なぜ対角行列へ変えるのか

対角行列をベクトルに掛けると、各成分を別々の倍率で伸び縮みさせるだけです。固有ベクトルを座標軸に選べれば、元の複雑な変換もこの単純な形で見られます。

IDEA変換に合った座標軸を選ぶ

行列そのものを変えるというより、同じ線形変換を別の基底から見直します。固有方向を座標軸にすると、軸どうしが混ざらなくなります。

正確な定義と組み立て方

DEF対角化

$n\times n$ 行列 $A$ に対し、正則行列 $P$ と対角行列 $D$ が存在して $P^{-1}AP=D$ となるとき、$A$ は対角化可能であるといいます。同値な形は $A=PDP^{-1}$ です。

$A$ が一次独立な固有ベクトル $\boldsymbol{v}_1,\ldots,\boldsymbol{v}_n$ をもち、対応する固有値が $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ なら

$$P=(\boldsymbol{v}_1\ \cdots\ \boldsymbol{v}_n),\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$

$P$ の列と $D$ の対角成分は、必ず同じ順序で対応させます。

2×2行列の完全な例

EXA を対角化する

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

の固有値は $3,1$、対応する固有ベクトルを

$$\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$

と選べます。したがって

$$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}.$$

$\det P=-2$ なので

$$P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.$$

計算すると

$$P^{-1}AP =\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}=D.$$

逆に

$$PDP^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=A$$

と元へ戻ることも確認できます。

いつ対角化できるか

THM対角化可能性の条件

$n\times n$ 行列が対角化可能であることと、一次独立な固有ベクトルを $n$ 本もつことは同値です。特に異なる固有値を $n$ 個もてば対角化可能です。

固有値が重複しても、独立な固有ベクトルが必要本数あれば対角化できます。たとえば $I_2$ は固有値1だけを2重にもっていますが、すべての非零ベクトルが固有ベクトルなので対角化可能です。

EX対角化できない行列

$$B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$$

は固有値2を2重にもちますが、固有空間は

$$\ker(B-2I)=\operatorname{span}\{(1,0)^{\mathsf T}\}$$

の1次元です。独立な固有ベクトルを2本選べないため対角化できません。

行列のべき乗

$A=PDP^{-1}$ なら途中の $P^{-1}P$ が消えるため

$$A^k=PD^kP^{-1}.$$

上の例では

$$D^k=\begin{pmatrix}3^k&0\\0&1\end{pmatrix},$$

したがって

$$A^k=\frac12\begin{pmatrix}3^k+1&3^k-1\\3^k-1&3^k+1\end{pmatrix}.$$

これは漸化式、連立微分方程式、長時間の変化を調べるときに役立ちます。

!順序と対応を崩さない

基底変換は $P^{-1}AP=D$ であり、一般に $PAP^{-1}$ ではありません。また $P$ の第 $j$ 列の固有ベクトルと、$D$ の第 $j$ 対角成分の固有値を対応させます。

!対角化可能と正則は別問題

零行列は対角化可能ですが逆行列をもちません。一方、$\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ は正則ですが対角化できません。

対角化できない行列も、複素数上ではジョルダン標準形というほぼ対角な形に整理できます。ここでは名前の紹介に留めます。

練習問題

Q対角行列を組み立てる★☆☆

$A=\begin{pmatrix}4&0\\1&3\end{pmatrix}$ を対角化してください。

HINTヒントを見る

固有値は $4,3$。それぞれの固有ベクトルを同じ順序で $P$ に並べます。

ANS解答を見る

$\lambda=4$ では固有ベクトル $(1,1)^{\mathsf T}$、$\lambda=3$ では $(0,1)^{\mathsf T}$ を選べます。したがって

$$P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}4&0\\0&3\end{pmatrix}.$$

直接掛けると $P^{-1}AP=D$ です。

Qべき乗を求める★★☆

上の $A$ について $A^k$ を求めてください。

HINTヒントを見る

$A^k=PD^kP^{-1}$ を使います。

ANS解答を見る

$$D^k=\begin{pmatrix}4^k&0\\0&3^k\end{pmatrix}$$

なので

$$A^k =\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4^k&0\\0&3^k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4^k&0\\4^k-3^k&3^k\end{pmatrix}.$$

$k=1$ を代入すると元の $A$ に戻り、検算できます。

Q対角化できないことを示す★★★

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

が対角化できないことを示してください。

HINTヒントを見る

唯一の固有値 $1$ に対する固有空間の次元を調べます。

ANS解答を見る

特性多項式は $(1-\lambda)^2$ です。$\lambda=1$ に対し

$$A-I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$$

なので固有ベクトルは $(x,0)$ の形で、固有空間は1次元です。$\mathbb R^2$ の基底となる2本の固有ベクトルを取れないため、$A$ は対角化できません。

KEY要点のまとめ

• 対角化は固有ベクトルを基底に選ぶこと
• $P^{-1}AP=D$、同値に $A=PDP^{-1}$
• $P$ の列と $D$ の対角成分の順序を対応させる
• 対角化可能である条件は独立な固有ベクトルが $n$ 本あること
• $A^k=PD^kP^{-1}$ でべき乗を簡単にできる

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一般の対角化では基底変換行列 $P$ は直交行列とは限りません。実対称行列では正規直交固有基底を選べるため、$P^{-1}=P^{\mathsf T}$ となる直交対角化が可能です。