線形結合と生成

なぜ線形結合を考えるのか

いくつかの基本的な移動を組み合わせて、目的の移動を作れるか考えてみましょう。「右へ1」と「上へ1」を何倍かずつ使えば、平面上のどの移動も作れます。線形結合は、この「手持ちのベクトルから何を作れるか」を数式にしたものです。

線形結合の定義

線形結合で表せるかを判定する

EX未知の係数を連立方程式で求める

\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}

とします。 $\boldsymbol{b}=a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}$ と表せるか調べると、

\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+2b\\a-b\end{pmatrix}

なので、係数は

\begin{cases}a+2b=5\\a-b=1\end{cases}

を満たす必要があります。解は $a=\frac73$ 、 $b=\frac43$ です。したがって $\boldsymbol{b}$ は $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$ の線形結合で表せます。

一般に、ベクトルを列に並べた行列 $A=(\boldsymbol{v}_1\ \cdots\ \boldsymbol{v}_k)$ を使うと、

a_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+a_k\boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{b}

は $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ という連立一次方程式になります。解があれば表せ、解がなければ表せません。

生成される集合と span

零ベクトルを材料に加えても作れる範囲は増えません。任意の $a$ に対して $a\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$ だからです。特に $\operatorname{span}\{\boldsymbol{0}\}=\{\boldsymbol{0}\}$ です。

練習問題

Q基本的な線形結合★☆☆

$\boldsymbol{a}=(1,2)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol{b}=(2,-1)^{\mathsf T}$ とします。 $(5,0)^{\mathsf T}$ を $c\boldsymbol{a}+d\boldsymbol{b}$ の形で表してください。

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成分を比較して $c+2d=5$ 、 $2c-d=0$ を解きます。

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$2c-d=0$ から $d=2c$ です。これを $c+2d=5$ に代入すると $5c=5$ なので $c=1$ 、 $d=2$ です。実際、

\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b} =\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}.

Q生成される平面に入るか★★☆

$\boldsymbol{u}=(1,0,1)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol{v}=(0,1,1)^{\mathsf T}$ とします。 $\boldsymbol{w}=(1,1,3)^{\mathsf T}$ は $\operatorname{span}\{\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\}$ に入りますか。

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$a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}=\boldsymbol{w}$ と置き、3成分を同時に満たす $a,b$ があるか調べます。

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第1成分から $a=1$ 、第2成分から $b=1$ が必要です。しかしこのとき第3成分は $a+b=2$ となり、 $\boldsymbol{w}$ の第3成分 $3$ と一致しません。したがって連立方程式に解はなく、 $\boldsymbol{w}$ はこの線形包に入りません。

Q生成される平面を式で表す★★★

$v_1=(1,1,0)$ 、 $v_2=(0,1,1)$ とします。 $(a,b,c)$ が $\operatorname{span}\{v_1,v_2\}$ に属するための $a,b,c$ の条件を求めてください。

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sv_1+tv_2=(s,s+t,t)

と成分比較します。

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$(a,b,c)=(s,s+t,t)$ なので $a=s$ 、 $c=t$ 、 $b=s+t=a+c$ が必要です。逆に $b=a+c$ なら $s=a,t=c$ と取って $(a,b,c)=av_1+cv_2$ と書けます。したがって必要十分条件は $b=a+c$ です。