非同次方程式と未定係数法

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：標準学習時間：約120分

未定係数法は、右辺の形を保つ関数を試し、係数を決めて特殊解を作る方法です。試行解が同次解と重なるときは $x^s$ を掛けます。

GOALこの記事で分かること

• 右辺に適した試行解を選ぶ
• 係数比較で特殊解を決定する
• 共鳴と特性根の重複度を扱う

PRE前提知識

定数係数二階同次方程式を使います。

一般解の組み立て

非同次方程式 $ay''+by'+cy=g(x)$ の一般解は $y=y_h+y_p$。まず同次一般解 $y_h$ を求め、次に右辺に合わせた試行解から特殊解 $y_p$ を作ります。

DEF試行解の基本形

• $g=P_n(x)$：同次数の一般多項式
• $g=e^{\lambda x}P_n(x)$：$e^{\lambda x}$ と一般多項式の積
• $g=P_n(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x$：両方の三角関数を含める

候補が同次解と重なるなら、重なりを除く最小の $s$ について試行解全体へ $x^s$ を掛けます。

EX多項式の右辺

$y''-y=x$。$y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$。$y_p=Ax+B$ と置くと $-Ax-B=x$ より $A=-1,B=0$。よって $y=y_h-x$。

EX非共鳴の三角関数

$y''-y=\cos x$。$A\cos x+B\sin x$ を代入すると $-2A\cos x-2B\sin x=\cos x$。$A=-\frac{1}{2},B=0$ なので $y_p=-\frac12\cos x$。

EX共鳴

$y''+y=\cos x$ では $\cos x,\sin x$ が同次解です。$x(A\cos x+B\sin x)$ を試すと $y_p=\frac{x}{2}\sin x$ が得られ、代入で $y_p''+y_p=\cos x$。

指数関数 $e^{\lambda x}$ が特性根 $\lambda$ と $s$ 重に重なるときは $x^s e^{\lambda x}$ を使います。「共鳴なら常に $x$」ではありません。

EX初期条件付き非同次方程式

$y''-3y'+2y=e^x, y(0)=0,y'(0)=0$。同次解は $C_1e^x+C_2e^{2x}$。$e^x$ は単根1と重なるため $y_p=Axe^x$。代入すると $-Ae^x=e^x$ より $A=-1$。初期条件から $C_1+C_2=0, C_1+2C_2-1=0$、ゆえに $C_2=1,C_1=-1$。 $y=-e^x+e^{2x}-xe^x.$

未定係数法は有限個の多項式・指数・三角関数とその積の和に向きます。$\log x$ や $\frac{1}{x}$ など一般の右辺には通常使えず、定数変化法を選びます。

!よくある誤解

特殊解の係数決定と初期条件による同次解の定数決定は別段階です。また三角関数では正弦と余弦を一組で試します。

練習問題

Q基本：多項式★☆☆

$y''+y=2x$ の特殊解を求めてください。

HINTヒントを見る

$Ax+B$ を試します。

ANS解答を見る

$y_p=2x$。$y_p''+y_p=2x$。

Q標準：指数関数★★☆

$y''+y'-2y=e^{2x}$ の一般解を求めてください。

HINTヒントを見る

2は特性根ではありません。

ANS解答を見る

$y_h=C_1e^x+C_2e^{-2x}$。$Ae^{2x}$ の代入で $(4+2-2)A=1$、$A=\frac{1}{4}$。したがって $y=y_h+\frac{e^{2x}}{4}$。

Q発展：重根との共鳴★★★

$(D-1)^2y=e^x$、すなわち $y''-2y'+y=e^x$ の特殊解を求めてください。

HINTヒントを見る

1は二重根なので $Ax^2e^x$。

ANS解答を見る

$y_p=Ax^2e^x$ を代入すると $2Ae^x=e^x$ より $A=\frac{1}{2}$。したがって $y_p=\frac{x^2e^x}{2}$。

KEY要点のまとめ

• 一般解は $y_h+y_p$
• 試行解は微分して閉じる関数族から選ぶ
• 同次解との重なりが $s$ 重なら $x^s$ を掛ける

NEXT次に読む記事

• 前：定数係数二階同次方程式
• 次：定数変化法