グリーンの定理

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約100分

グリーンの定理は、平面領域内部の微小な回転や発散の総和を、境界上の線積分へ変換します。

GOALこの記事で分かること

• 境界の正の向きを指定できる
• 循環形式と発散形式を使える
• 直接計算と定理による計算を比較できる
• 面積を境界積分で求められる

PRE前提知識

保存力場と二重積分を使います。

正の向きとは領域を進行方向の左側に見る向きです。単純閉曲線の外周は反時計回り。穴があれば内周は時計回りです。

正の向きでは領域が進行方向の左側に来ます。穴がある場合、内側境界の向きは外周と逆です。

グリーンの定理と境界の向き

THMグリーンの定理

$D$ が区分的に滑らかな単純閉曲線 $C=\partial D$ を境界に持ち、$P,Q$ が $D$ を含む開集合で $C^1$ とします。$C$ を正向きに取ると $\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA.$ 発散形式は $\oint_C P\,dy-Q\,dx=\iint_D(P_x+Q_y)\,dA.$

内部の小領域の境界積分を足すと共有辺が逆向きに打ち消され、外周だけが残るのが直感です。

線積分・面積の計算例

EX直接計算との比較

$P=-y,Q=x$、単位円を反時計回りに回ります。直接には $x=\cos t,y=\sin t$ から $Pdx+Qdy=dt$、積分は $2\pi$。グリーンでは $Q_x-P_y=1-(-1)=2$ なので $2\cdot\pi=2\pi$ です。

EX面積公式

$P=-\frac{y}{2},Q=\frac{x}{2}$ と置けば $Q_x-P_y=1$。したがって $|D|=\frac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx).$ 境界を時計回りにすれば符号が反転します。

穴のある領域に関する注意

!よくある誤解

穴のある領域では全境界成分を含め、外周を反時計回り、内周を時計回りにします。特異点が領域内にある場へ、仮定を確認せず定理を適用してはいけません。

練習問題

Q基本：循環★☆☆

単位正方形の正向き境界で $P=0,Q=x$ を積分してください。

HINTヒントを見る

$Q_x-P_y=1$。

ANS解答を見る

グリーンの定理より単位正方形の面積1です。

Q標準：発散形式★★☆

単位円で $F=(x,y)$ の外向き流束を求めてください。

HINTヒントを見る

$P_x+Q_y=2$。

ANS解答を見る

$\iint_D2\,dA=2\pi$ です。

Q発展：楕円の面積★★★

$x=a\cos t,y=b\sin t$ を面積公式へ入れてください。

HINTヒントを見る

$x\,dy-y\,dx=ab\,dt$。

ANS解答を見る

$|D|=(\frac{1}{2})\int_0^{2\pi}ab\,dt=\pi ab$ です。

KEY要点のまとめ

• 正向きでは領域を左に見る
• 循環形式はcurl、発散形式はdivを積分する
• 向きを逆にすると境界積分の符号が反転する
• グリーンの定理は平面版ストークスの定理

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