完全微分方程式

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：発展学習時間：約100分

方程式全体がある関数 $F(x,y)$ の全微分 $dF$ なら、解曲線上で $F(x,y)$ は一定です。 2つの係数を両方の偏導関数として再現できるかが要点です。

GOALこの記事で分かること

• $Mdx+Ndy=0$ の完全性を判定できる
• ポテンシャル関数を2通りの積分から復元できる
• 初期条件から陰関数形の解を決められる
• 簡単な積分因子で完全化できる

PRE前提知識

一階線形方程式、全微分、保存力場を使います。

DEF完全微分方程式

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ に対し、$F_x=M, F_y=N$ を満たすポテンシャル関数 $F$ があるとき、方程式は完全です。このとき $dF=0$ なので解は $F(x,y)=C$ という陰関数形で表されます。

THM完全性の判定

$M,N$ が単連結な開領域で $C^1$ 級なら、 $M_y=N_x$ は完全であるための必要十分条件です。穴のある領域では交差偏導関数が一致しても、大域的なポテンシャルが存在しない場合があります。

ポテンシャルの求め方

EX最初から完全な方程式

$(2xy+3)\,dx+(x^2+2y)\,dy=0$ では $M_y=2x=N_x$。$M$ を $x$ で積分して $F=x^2y+3x+h(y).$ $F_y=x^2+h'(y)=N=x^2+2y$ より $h=y^2$。したがって $x^2y+3x+y^2=C.$ 両偏導関数を取り直すと、確かに $F_x=2xy+3, F_y=x^2+2y$ です。

$N$ を $y$ で積分して $F$ を作り、未知の $x$ の関数を補っても同じ結果になります。

EX初期条件付きの例

$(2xy+y)\,dx+(x^2+x)\,dy=0,\qquad y(1)=2$ では $M_y=2x+1=N_x$。ポテンシャルは $F=x^2y+xy$。初期条件から $C=4$ なので $x^2y+xy=4.$ 必要なら $x\ne0,-1$ で $y=\frac{4}{x(x+1)}$ と解けます。初期点1を含む最大区間は $(0,\infty)$ です。陰関数を微分すると $(2xy+y)+(x^2+x)y'=0$ に戻ります。

完全でない場合の積分因子

$M_y\ne N_x$ なら、そのままでは完全ではありません。ただし $\frac{M_y-N_x}{N}$ が $x$ だけの関数 $r(x)$ なら $\mu(x)=e^{\int r(x)dx}$ が積分因子です。同様に $\frac{N_x-M_y}{M}$ が $y$ だけの関数なら $y$ だけの積分因子を探せます。

EX積分因子で完全にする

$y\,dx+x(1+x)\,dy=0$ は $M_y=1, N_x=1+2x$ で完全ではありません。しかし $\frac{M_y-N_x}{N}=-\frac{2}{1+x}$ だから、$x\ne-1$ で $\mu=(1+x)^{-2}$。掛けると $\frac{y}{(1+x)^2}\,dx+\frac{x}{1+x}\,dy=0$ となり完全です。ポテンシャルは $F=\frac{xy}{1+x}$ なので、解は $\frac{xy}{1+x}=C$。両偏導関数はそれぞれ $\frac{y}{(1+x)^2}$ と $\frac{x}{1+x}$ です。

!よくある誤解

$M_y=N_x$ は、滑らかさと領域条件を無視して大域的十分条件にはできません。また、$M$ だけを積分して得た候補は、必ず $F_y=N$ も確認します。

練習問題

Q基本：完全性判定★☆☆

$(y+2x)dx+(x+2y)dy=0$ が完全か判定してください。

HINTヒントを見る

$M_y$ と $N_x$ を比較します。

ANS解答を見る

$M_y=1=N_x$ なので $\mathbb R^2$ 上で完全です。ポテンシャルは $F=xy+x^2+y^2$ です。

Q標準：初期条件★★☆

前問の方程式で $y(0)=1$ を満たす陰関数解を求めてください。

HINTヒントを見る

$F(0,1)$ を計算します。

ANS解答を見る

$C=1$ なので $xy+x^2+y^2=1$。微分すると $(y+2x)+(x+2y)y'=0$ となり元の方程式へ戻ります。

Q発展：積分因子★★★

$2y\,dx+x\,dy=0$ に $x$ だけの積分因子を求め、解いてください。$x>0$ とします。

HINTヒントを見る

$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{2-1}{x}=\frac{1}{x}$。

ANS解答を見る

$\mu=e^{\int \frac{dx}{x}}=x$。掛けると $2xy\,dx+x^2\,dy=0=d(x^2y)$。したがって $x^2y=C$、すなわち $y=\frac{C}{x^2}$。代入すると $2y+xy'=\frac{2C}{x^2}-\frac{2C}{x^2}=0$ です。

KEY要点のまとめ

• 完全なら $M=F_x,N=F_y$ で、解は $F=C$
• 単連結領域と $C^1$ 級の仮定の下で $M_y=N_x$ が判定条件
• 候補 $F$ は両方の偏導関数で検算する
• 完全でない方程式も積分因子で完全になる場合がある

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