写像とは

写像の定義

このサイトでは「関数」を主に数を扱う写像という語感で使いますが、数学的には写像とほぼ同じ意味で扱います。

写像を定めるには、定義域、終域、対応規則の三つが必要です。同じ式 $f(x)=x^2$ でも $f:\mathbb R\to\mathbb R,qquad g:[0,\infty)\to[0,\infty)$ は別の写像です。

恒等写像 $\operatorname{id}_A:A\to A$ は $\operatorname{id}_A(x)=x$ 、定数写像はすべての入力を固定した一つの値へ送ります。

∵証明

任意の入力 $x$ に対して両辺の値はどちらも $h(g(f(x)))$ です。定義域・終域も一致するので写像として等しいです。

写像がwell-definedであるとは、許された各入力に、表示の選び方に依存しない終域内の値が一つ定まることです。たとえば同じ対象に複数の表示がある場合、表示を変えても出力が変わらないことを確かめます。

二つの写像が等しいとは、定義域と終域が同じで、すべての入力で値が一致することです。

逆写像 $f^{-1}:B\to A$ は $f^{-1}(f(x))=x$ と $f(f^{-1}(y))=y$ を満たす写像です。存在するには $f$ が全単射でなければなりません。詳しい条件は次の記事で扱います。

Q定義域・終域・値域★☆☆

$f:\{-2,-1,0,1,2\}\to\{0,1,2,3,4\}$ 、 $f(x)=x^2$ の値域を求めてください。

HINTヒントを見る

各入力の値を列挙します。

ANS解答を見る

出力は4、1、0、1、4なので、値域は $\{0,1,4\}$ です。終域 $\{0,1,2,3,4\}$ とは一致しません。

Q合成と逆像★★☆

$f:\mathbb R\to\mathbb R$ 、 $f(x)=2x-1$ 、 $g:\mathbb R\to\mathbb R$ 、 $g(x)=x^2$ とします。 $g\circ f$ と $(g\circ f)^{-1}([0,1])$ を求めてください。

HINTヒントを見る

(2x-1)^2\le1

を解きます。

ANS解答を見る

$(g\circ f)(x)=(2x-1)^2$ です。

(2x-1)^2\le1 \iff -1\le2x-1\le1 \iff 0\le x\le1.

したがって逆像は $[0,1]$ です。

Q逆像が共通部分を保つことを示す★★★

写像 $f:X\to Y$ と部分集合 $A,B\subseteq Y$ に対して

f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)

を示してください。

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x\in X

を一つ取り、左辺に属する条件を順に言い換えます。

ANS解答を見る

$x\in f^{-1}(A\cap B)$ は $f(x)\in A\cap B$ と同値です。これは $f(x)\in A$ かつ $f(x)\in B$ 、すなわち $x\in f^{-1}(A)$ かつ $x\in f^{-1}(B)$ と同値です。よって両辺は同じ要素を持ちます。