基底と次元

なぜ基底が必要なのか

空間のすべてのベクトルを個別に記録することはできません。しかし、少数の基本ベクトルを選び、各ベクトルをその線形結合として表せれば、係数だけで空間全体を扱えます。その基本ベクトルが多すぎると表し方が重複するため、必要十分な本数へ絞ります。

第1条件は「材料が足りる」、第2条件は「材料に無駄がない」という意味です。両方が必要です。

生成するので少なくとも一つの表し方があります。二つの表し方があれば、差を取ると基底ベクトルの線形結合が零ベクトルになります。一次独立なので係数の差はすべて0となり、二つの表し方は同じです。

$\mathbb{R}^2$ は基底が2本なので $\dim\mathbb{R}^2=2$ 、 $\mathbb{R}^3$ は3本なので $\dim\mathbb{R}^3=3$ です。基底そのものは多数ありますが、本数は変わりません。

零ベクトルだけからなる空間 $\{\boldsymbol{0}\}$ の基底は、ベクトルを一つも含まない空集合です。したがって

\dim\{\boldsymbol{0}\}=0

と定めます。 $\{\boldsymbol{0}\}$ の基底に零ベクトルを入れないのは、零ベクトル1本の集合が一次従属だからです。

同様に、次数が高々 $n$ の実係数多項式全体

P_n=\{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\mid a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{R}\}

では $1,x,\ldots,x^n$ が基底です。したがって $\dim P_n=n+1$ です。「最高次数が $n$ だから次元も $n$ 」ではなく、定数項を含む $n+1$ 個の係数が必要です。

Q別の基底で座標を求める★☆☆

$\boldsymbol{b}_1=(1,1)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol{b}_2=(1,-1)^{\mathsf T}$ をこの順に並べた基底について、 $\boldsymbol{x}=(4,2)^{\mathsf T}$ の座標を求めてください。

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$\boldsymbol{x}=a\boldsymbol{b}_1+b\boldsymbol{b}_2$ と置き、 $a+b=4$ 、 $a-b=2$ を解きます。

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2式を足すと $2a=6$ なので $a=3$ 、そこから $b=1$ です。したがって

\boldsymbol{x}=3\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2

であり、この順序の基底に関する座標は $(3,1)^{\mathsf T}$ です。

Q平面の基底と次元★★☆

W=\{(x,y,z)^{\mathsf T}\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}

の基底を一つ求め、 $\dim W$ を答えてください。

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$x=-y-z$ として $y=s,z=t$ と置き、一般のベクトルを $s,t$ の線形結合に分けます。

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\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-s-t\\s\\t\end{pmatrix} =s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.

したがって2本は $W$ を生成します。また

a\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}

の第2・第3成分から $a=b=0$ なので一次独立です。よってこの2本は基底で、 $\dim W=2$ です。

Q多項式を別の基底で表す★★★

$P_2$ の順序付き基底

B=(1+x,\ x+x^2,\ 1+x^2)

に関する $p(x)=2+3x+x^2$ の座標を求めてください。

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a(1+x)+b(x+x^2)+c(1+x^2)=p(x)

と置き、定数項・一次項・二次項を比較します。

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係数比較から $a+c=2$ 、 $a+b=3$ 、 $b+c=1$ です。これを解くと $a=2,b=1,c=0$ となります。したがって

[p]_B=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}.

発展的には、一次独立な集合を基底まで増やせる「基底の延長」に関する定理があります。ここでは基底の定義と座標表示を優先します。