ラグランジュの未定乗数法

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約95分

制約曲線上の極値では、目的関数の勾配が制約面の法線、つまり制約関数の勾配と平行になります。

GOALこの記事で分かること

• 制約付き極値の候補方程式を立てられる
• 正則性の条件を確認できる
• 二・三変数の例を最後まで計算できる
• 候補比較で最大・最小を確定できる

PRE前提知識

多変数極値、陰関数、勾配を使います。

制約曲線上でこれ以上増減できない候補点では、目的関数と制約関数の勾配が平行になります。

未定乗数法の考え方と定理

IDEA制約に沿って動けない方向

制約 $g=c$ 上の接方向では $g$ も、極値点の $f$ も一次変化が0です。両勾配は接空間に直交するため、正則な点では平行になります。

THMラグランジュの未定乗数法

$f,g:\mathbb R^n\to\mathbb R$ が $C^1$ で、$g(\boldsymbol a)=c$、$\nabla g(\boldsymbol a)\ne0$ とします。$\boldsymbol a$ が制約集合上の局所極値なら、ある実数 $\lambda$ が存在し $\nabla f(\boldsymbol a)=\lambda\nabla g(\boldsymbol a),\qquad g(\boldsymbol a)=c$ となります。これは必要条件であり、得た候補が極値かは比較などで確認します。

制約付き極値の計算例

EX二変数の完全な例

円 $x^2+y^2=1$ 上で $f=x+2y$ を最適化します。 $(1,2)=\lambda(2x,2y)$ より $(x,y)$ は $(1,2)$ と平行。制約から候補は $\pm\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ です。関数値はそれぞれ $\pm\sqrt5$ なので、最大 $\sqrt5$、最小 $-\sqrt5$ です。円は閉じて有界で、連続関数は最大・最小を取ります。

EX三変数の完全な例

平面 $x+y+z=6$ 上で $f=x^2+y^2+z^2$ を最小化します。 $(2x,2y,2z)=\lambda(1,1,1)$ より $x=y=z$、制約から $(2,2,2)$。値は12です。$f$ の凸性、または平方完成からこれが大域最小です。制約平面は有界でないため最大値はありません。

特異点と候補点の注意

!よくある誤解

$\nabla g=0$ の点では通常の定理を適用できません。候補を列挙しただけで最大・最小と断定せず、制約集合の他の成分、特異点、境界、関数値を確認します。

練習問題

Q基本★☆☆

$x+y=4$ 上で $xy$ の候補を求めてください。

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$(y,x)=\lambda(1,1)$。

ANS解答を見る

$x=y$ と制約から $(2,2)$。値4で、$xy=x(4-x)=4-(x-2)^2$ より最大です。最小はありません。

Q標準★★☆

楕円 $x^2+4y^2=4$ 上で $f=x$ の最大・最小を求めてください。

HINTヒントを見る

幾何的には左右端です。

ANS解答を見る

$(1,0)=\lambda(2x,8y)$ より $y=0$、制約から $x=\pm2$。最大2、最小 $-2$ です。

Q発展★★★

$xyz$ を $x^2+y^2+z^2=3$、$x,y,z\gt0$ のもとで最大化してください。

HINTヒントを見る

各式 $yz=2\lambda x$ などを比較します。

ANS解答を見る

正なので比較から $x=y=z$。制約より $x=y=z=1$、積は1。相加相乗平均でも $xyz\le[\frac{x^2+y^2+z^2}{3}]^{\frac{3}{2}}=1$ と確認できます。

KEY要点のまとめ

• 正則な制約極値では目的と制約の勾配が平行
• 制約式も含めて連立する
• 方程式は候補を与える必要条件
• コンパクト性や比較で最大・最小を確定する

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