微分係数と導関数とは

$a$ から $a+h$ までの平均変化率 $\frac{f(a+h)-f(a)}h$ は二点を結ぶ割線の傾きです。 $h\to0$ の極限が瞬間変化率・接線の傾きになります。

微分係数と導関数

定数関数の導関数は0、一次関数 $mx+b$ の導関数はmです。また

\frac{(a+h)^3-a^3}{h}=3a^2+3ah+h^2

より $(x^3)'=3x^2$ です。

点 $(a,f(a))$ での接線は $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ です。位置を時間で表す関数なら導関数は速度を表します。

∵証明

$h\ne0$ で $f(a+h)-f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}h\,h.$ $h\to0$ で第一因子は有限値 $f'(a)$ 、第二因子は0へ収束するため差は0へ収束します。よって $f(a+h)\to f(a)$ です。

逆は偽で、 $|x|$ が反例です。導関数が存在することと、その導関数が連続であることも別です。2階、3階と微分したものを高階導関数といいます。

Q一次関数★☆☆

$f(x)=3x-2$ の微分係数を定義から求めてください。

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差の商を整理します。

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$\frac{3(a+h)-2-(3a-2)}{h}=3$ なので $f'(a)=3$ です。

Q接線★★☆

$f(x)=x^2$ の $x=2$ における接線を求めてください。

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$f(2)=4,f'(2)=4$ 。

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$y-4=4(x-2)$ 、すなわち $y=4x-4$ です。

Q片側微分★★★

$f(x)=|x-1|$ は $x=1$ で微分可能ですか。

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$h>0$ と $h<0$ で差の商を調べます。

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右差商は1、左差商は $-1$ なので一致せず、微分可能ではありません。ただし連続です。