三重積分と円柱・球座標

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約105分

三重積分は微小体積を足し、立体の体積・質量を求めます。円柱・球対称な領域では対応する座標が有効です。

GOALこの記事で分かること

• 三重積分を累次積分で計算できる
• 円柱・球座標の流儀を説明できる
• 体積要素の因子を正しく使える
• 球と円柱の体積を求められる

PRE前提知識

極座標による二重積分と変数変換を使います。

密度 $\delta(x,y,z)\ge0$ の立体 $E$ の質量は $M=\iiint_E\delta\,dV$、体積は $\iiint_E1\,dV$ です。重心は例えば $\bar x=M^{-1}\iiint_Ex\delta\,dV$ で定めます。

この記事ではθをxy平面内の方位角、φを正のz軸から測る極角として固定します。

円柱座標と球座標

THM円柱座標

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$ $r\ge0$、$\theta$ は正の $x$ 軸から反時計回りです。円柱・円錐など $z$ 軸対称な領域に向きます。

立体の体積を求める例

EX円柱の体積

$x^2+y^2\le R^2,0\le z\le h$ では $V=\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^Rr\,dr\,d\theta\,dz=\pi R^2h.$

THM球座標の流儀

本サイトでは $\rho\ge0$ を原点からの距離、$0\le\phi\le\pi$ を正の $z$ 軸からの角、$0\le\theta\lt2\pi$ を $xy$ 平面内の方位角とします。 $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi,$ $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$

EX球の体積

半径 $R$ の球を $0\le\rho\le R,0\le\phi\le\pi,0\le\theta\lt2\pi$ で覆うと $V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^R\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta=\frac{4\pi R^3}{3}.$

EX円錐領域

$0\le z\le h$、$0\le r\le(\frac{R}{h})z$ の円錐は $V=\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{Rz}{h}}r\,dr\,d\theta\,dz=\frac{\pi R^2h}{3}.$

角度と体積要素の注意

!よくある誤解

球座標の $\rho^2\sin\phi$、円柱座標の $r$ を落としてはいけません。極や軸では複数の角度が同じ点を表しますが、体積0の特異集合です。教科書によって $\theta$ と $\phi$ の役割が逆なので、必ず定義を確認してください。

練習問題

Q基本：直方体★☆☆

$[0,1]\times[0,2]\times[0,3]$ 上で1を積分してください。

HINTヒントを見る

三辺の積です。

ANS解答を見る

$\int_0^1\int_0^2\int_0^3 1\,dz\,dy\,dx=6$ です。

Q標準：円柱の質量★★☆

単位円柱 $r\le1,0\le z\le2$ の密度が $\delta=z$ のとき質量を求めてください。

HINTヒントを見る

$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。

ANS解答を見る

$\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^1zr\,dr\,d\theta\,dz=2\pi$ です。

Q発展：球の平均二乗距離★★★

半径 $R$ の球で $\rho^2$ の平均値を求めてください。

HINTヒントを見る

$\iiint\rho^2dV$ を球の体積で割ります。

ANS解答を見る

分子は $4\pi \frac{R^5}{5}$、体積は $4\pi \frac{R^3}{3}$ なので平均は $\frac{3R^2}{5}$ です。

KEY要点のまとめ

• 三重積分は微小体積の和
• 円柱座標では $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$
• 本サイトの球座標では $\phi$ は正の $z$ 軸から測る
• 球座標では $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

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