集合の演算とド・モルガンの法則

四つの基本演算

集合演算の法則

∵証明

任意の要素 $x\in U$ を一つ固定します。

x\in(A\cup B)^c \iff x\notin A\cup B \iff (x\notin A\text{ かつ }x\notin B) \iff x\in A^c\cap B^c.

どの $x$ についても所属が一致するので最初の等式が成り立ちます。2番目も「両方に入る、ではない」を「少なくとも一方に入らない」へ言い換えて同様に示せます。

集合 $X=Y$ を証明する標準的な方法は、 $x\in X\Rightarrow x\in Y$ と $x\in Y\Rightarrow x\in X$ の両方を示すことです。これは $X\subseteq Y$ と $Y\subseteq X$ を示すことに対応します。

直積集合

練習問題

Q集合演算★☆☆

$U=\{1,2,3,4,5\}$ 、 $A=\{1,2,3\}$ 、 $B=\{2,4\}$ について $A\cup B$ 、 $A\cap B$ 、 $A\setminus B$ 、 $A^c$ を求めてください。

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補集合は

U

の中で考えます。

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$A\cup B=\{1,2,3,4\}$ 、 $A\cap B=\{2\}$ 、 $A\setminus B=\{1,3\}$ 、 $A^c=\{4,5\}$ です。

Q等式を証明する★★☆

$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$ を要素を使って証明してください。

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x

が左辺に属する条件を「かつ」「または」で書き直します。

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x\in A\setminus(B\cup C) \iff x\in A, x\notin B, x\notin C

\iff x\in A\setminus B\text{ かつ }x\in A\setminus C \iff x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C).

任意の $x$ について同値なので集合は等しいです。

Q対称差の等式を示す★★★

任意の集合 $A,B$ について

(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus(A\cap B)

を示してください。

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任意の要素

x

が左辺に属する条件を「かつ」「または」で書き直します。

ANS解答を見る

左辺への所属は「 $x\in A$ かつ $x\notin B$ 、または $x\in B$ かつ $x\notin A$ 」です。これは「 $A,B$ の少なくとも一方に属するが、両方には属さない」と同値です。すなわち $x\in A\cup B$ かつ $x\notin A\cap B$ であり、右辺への所属条件と一致します。