多変数関数のテイラーの定理

多変数テイラー展開

一変数で $h$ が数、勾配が $f'(a)$ 、ヘッセ行列が $f''(a)$ になれば、 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(a)\frac{h^2}{2}+o(h^2)$ に戻ります。

Q基本★☆☆

f=x^2+y^2

の原点での二次テイラー多項式を求めてください。

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この関数自体が二次式です。

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f(0)=0

、勾配は0、

H=2I

なので

T_2=x^2+y^2

。剰余は0です。

Q標準★★☆

f=\log(1+x+y)

の原点での二次近似を求めてください。

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s=x+y

と一変数展開します。

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\log(1+s)=s-\frac{s^2}{2}+o(s^2)

より

x+y-\frac{(x+y)^2}{2}

です。

Q発展★★★

前問を使い

\log(1.03)

を二次近似してください。

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x=0.02,y=0.01

としても和は0.03です。

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0.03-\frac{0.03^2}{2}=0.02955

です。