グラム・シュミットの直交化

何をしているのか

二次元の完全計算

三次元の完全計算

EX3本を直交化する

\boldsymbol{v}_1=(1,1,0)^{\mathsf T},\quad \boldsymbol{v}_2=(1,0,1)^{\mathsf T},\quad \boldsymbol{v}_3=(0,1,1)^{\mathsf T}.

まず

\boldsymbol{e}_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)^{\mathsf T}.

次に

\boldsymbol{u}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac12(1,1,0)^{\mathsf T} =\frac12(1,-1,2)^{\mathsf T},

$\|\boldsymbol{u}_2\|=\frac{\sqrt6}{2}$ なので

\boldsymbol{e}_2=\frac1{\sqrt6}(1,-1,2)^{\mathsf T}.

最後に

\langle\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{e}_1\rangle=\frac1{\sqrt2}, \qquad \langle\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{e}_2\rangle=\frac1{\sqrt6},

したがって

\boldsymbol{u}_3=(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac16(1,-1,2) =\frac13(-2,2,2).

$\|\boldsymbol{u}_3\|=\frac{2}{\sqrt3}$ なので $\boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$ です。直接計算すると3本の内積はすべて0、ノルムはすべて1です。

∵証明

$i<j$ に対し $\boldsymbol{u}_j$ と $\boldsymbol{e}_i$ の内積を取ると、和のうち $i$ 番目だけが残り、 $\langle\boldsymbol{v}_j,\boldsymbol{e}_i\rangle$ と打ち消し合います。また $\boldsymbol{u}_j$ は $\boldsymbol{v}_j$ と以前の $\boldsymbol{e}_i$ の線形結合であり、逆に定義式を移項すれば $\boldsymbol{v}_j$ も新しい $\boldsymbol{u}_j$ と以前のベクトルから作れます。よって生成空間は変わりません。

正規直交ベクトルを列に並べた行列を $Q$ 、射影係数を並べた上三角行列を $R$ とすると、元の列行列は $A=QR$ と書けます。これがQR分解です。

練習問題

Q二次元の直交化★☆☆

(2,0)^{\mathsf T}

、

(1,1)^{\mathsf T}

をこの順にグラム・シュミット法で正規直交化してください。

HINTヒントを見る

1本目を正規化すると

(1,0)^{\mathsf T}

です。

ANS解答を見る

$\boldsymbol{e}_1=(1,0)^{\mathsf T}$ 。2本目から射影 $(1,0)^{\mathsf T}$ を引くと $(0,1)^{\mathsf T}$ なので、 $\boldsymbol{e}_2=(0,1)^{\mathsf T}$ です。

Q平面の正規直交基底★★☆

$\boldsymbol{v}_1=(1,1,1)^{\mathsf T}$ 、 $\boldsymbol{v}_2=(1,-1,0)^{\mathsf T}$ が張る平面の正規直交基底を求めてください。

HINTヒントを見る

2本は既に直交しています。正規化だけが必要です。

ANS解答を見る

$\langle\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\rangle=0$ なので

\boldsymbol{e}_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^{\mathsf T},\qquad \boldsymbol{e}_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^{\mathsf T}.

それぞれ元のベクトルの非零倍なので、同じ平面を生成します。

Q一次従属な組へ適用した場合★★★

$v_1=(1,1)$ 、 $v_2=(2,2)$ にグラム・シュミット法を適用すると、2本目の直交化ベクトルがどうなるか計算し、この2本から基底を作れない理由を説明してください。

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u_1=v_1

として

u_2=v_2-\dfrac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}u_1

を計算します。

ANS解答を見る

$v_2\cdot u_1=4$ 、 $u_1\cdot u_1=2$ なので

u_2=(2,2)-2(1,1)=(0,0).

零ベクトルは正規化できません。もとの2本が一次従属で同じ直線しか生成しないため、 $\mathbb R^2$ の基底にはできません。