ε-N論法とは

ε-N論法の定義

$N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil+1$ としてもよいです。 $\lceil x\rceil$ は $x$ 以上の最小の整数です。 $\frac{1}{\varepsilon}$ 自体は自然数とは限りません。

収束しないことは

\forall L\in\mathbb R\ \exists\varepsilon>0\ \forall N\ \exists n\ge N, \quad |a_n-L|\ge\varepsilon

と表せます。 $(-1)^n$ は、どの $L$ に対しても1と $-1$ の少なくとも一方が $L$ から1以上離れ、その値を取る項がいくら後にも現れるため収束しません。

QNを選ぶ★☆☆

$\frac{1}{n}<0.01$ をN以降で保証するNを一つ選んでください。

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$n>100$ が必要です。

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$N=101$ とすれば $n\ge101$ で $\frac{1}{n}<0.01$ です。

Q一次式の分数★★☆

$\frac{2n-1}{n+3}\to2$ を証明してください。

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極限との差は $\frac{7}{n+3}$ です。

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$\varepsilon>0$ に対し $N>\frac{7}{\varepsilon}$ を選びます。 $n\ge N$ なら $|\frac{2n-1}{n+3}-2|=\frac{7}{n+3}<\frac{7}{N}<\varepsilon$ です。

Q誤ったN★★★

$N=n+1$ と選ぶ証明が不適切な理由を説明してください。

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量化記号の順序を見ます。

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Nはεを見て先に固定し、その後のすべてのnに通用する必要があります。Nを後から選ぶnに依存させると一つの後半全体を指定できません。