重積分の変数変換とヤコビアン

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約100分

重積分の変数変換では、座標変換による局所的な面積の伸びをヤコビ行列式の絶対値で補正します。

GOALこの記事で分かること

• ヤコビ行列とヤコビアンを計算できる
• 絶対値が必要な理由を説明できる
• 領域・関数・面積要素をすべて変換できる
• 一対一性と特異点を確認できる

PRE前提知識

フビニの定理、多変数連鎖律、行列式を使います。

ヤコビアンの行列式の絶対値は、座標変換が局所的に面積を何倍へ拡大するかを表します。

変数変換とヤコビアン

IDEA小長方形が小平行四辺形へ変わる

$(u,v)$ 平面の微小長方形は、写像 $T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$ により小平行四辺形へ移ります。その面積倍率が $|\det J_T|$ です。向きを反転しても面積は正なので絶対値を取ります。

THM二重積分の変数変換公式

$T:U\to D$ が領域内部で一対一の $C^1$ 写像で、逆写像も適切に滑らか、$\det J_T\ne0$ とします。境界など測度0の例外を除き $\iint_Df(x,y)\,dx\,dy=\iint_Uf(x(u,v),y(u,v))\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.$

変換公式の計算例

EX線形変換の完全な例

$x=u+v,y=u-v$ で $U=[0,1]^2$ を移します。 $J_T=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad |\det J_T|=2.$ 像 $D$ は頂点 $(0,0),(1,1),(1,-1),(2,0)$ の平行四辺形。よって $\iint_D1\,dA=\iint_U2\,du\,dv=2$ です。

EX非線形変換の完全な例

$x=u, y=uv$ とし、$U=\{1\le u\le2,,0\le v\le1\}$。像は $D=\{1\le x\le2,,0\le y\le x\}$ です。 $J_T=\begin{pmatrix}1&0\\v&u\end{pmatrix},\qquad |\det J_T|=u.$ したがって $\iint_Dy\,dA=\int_1^2\int_0^1(uv)u\,dv\,du=\frac76.$ 直接計算 $\int_1^2\int_0^x y\,dy\,dx=\frac{7}{6}$ と一致します。

変換公式を使うときの注意

!よくある誤解

$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ と逆数を取り違えないでください。公式では「新座標から旧座標」$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ を使います。領域と被積分関数も新変数へ直し、旧変数を残しません。一対一でない写像は領域を重複して数えることがあります。

練習問題

Q基本：ヤコビアン★☆☆

$x=2u,y=3v$ のヤコビアンを求めてください。

HINTヒントを見る

ヤコビ行列は対角行列です。

ANS解答を見る

$J=\operatorname{diag}(2,3)$ なので絶対値は6です。

Q標準：向きの反転★★☆

$x=v,y=u$ の面積倍率を求めてください。

HINTヒントを見る

行列式は $-1$ です。

ANS解答を見る

$J=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$、$|\det J|=1$。向きは反転しますが面積は変わりません。

Q発展：領域と積分★★★

$x=2u,y=\frac{v}{2}$ で単位正方形を移した領域上の $x+y$ の積分を求めてください。

HINTヒントを見る

ヤコビアンは1です。

ANS解答を見る

$D=[0,2]\times[0,\frac{1}{2}]$。$\int_0^1\int_0^1(2u+\frac{v}{2})\,du\,dv=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ です。

KEY要点のまとめ

• ヤコビアンは局所的な面積倍率
• 面積要素には行列式の絶対値を掛ける
• 領域・関数・面積要素を一緒に変換する
• 一対一性とヤコビアン非零を確認する

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