二階線形微分方程式の基本構造

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：標準学習時間：約105分

二階線形方程式では、同次方程式の独立な2解が解空間の座標軸になります。非同次方程式の解は「同次一般解＋特殊解」です。

GOALこの記事で分かること

• 同次・非同次、基本解系、特殊解を区別する
• ロンスキアンで2解の独立性を確認する
• 2つの初期条件から解を一意に決める

PRE前提知識

常微分方程式とはと一階線形微分方程式を使います。

方程式の形

DEF二階線形微分方程式

区間 $I$ 上で $a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x),\qquad a_2(x)\ne0$ と書ける方程式です。$a_2$ で割った $y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$ を標準形と呼びます。$r=0$ が同次、$r\ne0$ が非同次です。

「線形」は未知関数 $y,y',y''$ が一次で現れるという意味です。同次方程式では解 $y_1,y_2$ と定数 $c_1,c_2$ に対して $c_1y_1+c_2y_2$ も解です。したがって解全体はベクトル空間になります。非同次方程式では右辺も加算されるため、この重ね合わせをそのまま使えません。

IDEA直感

二階方程式には位置 $y$ と速度 $y'$ の情報が必要です。通常、同じ点 $x_0$ で $y(x_0)$ と $y'(x_0)$ を指定すると解が決まります。異なる点で値を指定する境界値問題では、解がない・複数ある場合もあります。

基本解系とロンスキアン

DEFロンスキアン

$W(y_1,y_2)(x)=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2.$ 同次方程式の2解が線形独立なら基本解系といい、一般解は $y=C_1y_1+C_2y_2$ です。

EX独立性と初期条件

$y''-y=0$ の解 $e^x,e^{-x}$ について $W=-2\ne0$。よって一般解は $C_1e^x+C_2e^{-x}$。$y(0)=3,y'(0)=1$ なら $C_1+C_2=3, C_1-C_2=1$ から $C_1=2,C_2=1$ です。

係数 $p,q$ が連続な同次方程式では、ロンスキアンが区間内の一点で0でなければ区間全体で0になりません。一方、任意の関数対について「一点で $W=0$」だけから従属とは断定できません。

THM存在・一意性

$p,q,r$ が $x_0$ を含む区間 $I$ で連続なら、任意の $y(x_0)=A, y'(x_0)=B$ に対し標準形の初期値問題は $I$ 上でただ1つの解をもちます。最高階係数 $a_2$ が0になる点をまたぐと、この形では保証されません。

非同次方程式

特殊解 $y_p$ を1つ見つければ、すべての解は $y=y_h+y_p$ です。特殊解は一意ではなく、$y_p+y_h$ も特殊解です。

EX同次解と特殊解

$y''-y=2$ では $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$、$y_p=-2$。したがって $y=C_1e^x+C_2e^{-x}-2$。代入すると $y''-y=2$ です。

!よくある誤解

特殊解は「非同次方程式を満たす1つの関数」で、初期条件まで満たす解とは限りません。

練習問題

Q基本：ロンスキアン★☆☆

$\cos x,\sin x$ のロンスキアンを求めてください。

HINTヒントを見る

導関数を2行目へ置きます。

ANS解答を見る

$W=\cos^2x+sin^2x=1$。したがって線形独立です。

Q標準：初期値★★☆

$y''+y=0, y(0)=2, y'(0)=-3$ を解いてください。

HINTヒントを見る

一般解は $C_1\cos x+C_2\sin x$。

ANS解答を見る

$C_1=2,C_2=-3$ より $y=2\cos x-3\sin x$。二階微分は $-y$ です。

Q発展：非同次一般解★★★

$y''+y=1$ の一般解を求めてください。

HINTヒントを見る

定数特殊解を試します。

ANS解答を見る

$y_h=C_1\cos x+C_2\sin x, y_p=1$ より $y=C_1\cos x+C_2\sin x+1$。

KEY要点のまとめ

• 同次解空間は通常2次元で、基本解系がその基底
• 非同次一般解は同次一般解と特殊解の和
• 存在・一意性には標準形の係数の連続性が必要

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