関数の極限とは

関数の極限の定義

多項式は代入で極限を求められます。有理関数も分母が0にならない点では代入できます。和・差・積と、分母の極限が0でない商には数列と同様の極限法則があります。合成では外側の関数の連続性などの条件を確認します。

$\frac{\sin x}{x}$ の $x\to0$ のように代入が $\frac{0}{0}$ になる極限は、代入だけでは決まりません。 $\frac{0}{0}$ は数値0ではなく不定形です。はさみうちなど別の根拠が必要です。

$x\to\infty$ では入力をいくらでも大きくした振る舞いを調べます。 $\frac{1}{x}\to0$ 。一方 $\frac{1}{x^2}\to+\infty$ （ $x\to0$ ）のような表現は有限実数への収束ではありません。

Q多項式★☆☆

$\lim_{x\to2}(x^2+3x)$ を求めてください。

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多項式には代入できます。

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$4+6=10$ です。

Q約分★★☆

$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}$ を求めてください。

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$x^2-9=(x-3)(x+3)$ 。

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$x\ne3$ で式は $x+3$ なので極限は6です。

Q左右極限★★★

$f(x)=x+1$ （ $x<1$ ）、 $f(x)=3-x$ （ $x\ge1$ ）の $x\to1$ の極限を判定してください。

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左右を別々に計算します。

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左は2、右も2なので極限は2です。さらに $f(1)=2$ なのでこの点で連続でもあります。