微積分学の基本定理

微積分学の二つの基本定理

∵証明

差商は $\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)dt.$

連続性により短い区間では $f(t)$ が $f(x)$ に一様に近く、右辺はその区間での平均値なので $h\to0$ で $f(x)$ へ収束します。

これにより連続関数は $A$ という原始関数を持ちます。

∵証明

第1部の面積関数 $A$ も $f$ の原始関数です。したがって $A-F$ は定数。 $A(a)=0$ から $A(b)=F(b)-F(a)$ です。

Q基本定理★☆☆

$\int_1^3(2x+1)dx$ を求めてください。

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原始関数は $x^2+x$ 。

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$[x^2+x]_1^3=12-2=10$ 。

Q上端が関数★★☆

$H(x)=\int_0^{x^2}\cos tdt$ を微分してください。

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基本定理と連鎖律。

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$H'(x)=2x\cos(x^2)$ 。

Q面積関数★★★

$A(x)=\int_0^x(t^2+1)dt$ を求め、微分して確認してください。

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第2部で計算します。

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$A=\frac{x^3}{3}+x$ 、よって $A'=x^2+1$ 。