一階線形微分方程式系

30秒30秒で分かる要約

科目：常微分方程式難易度：発展学習時間：約125分

複数の未知関数を列ベクトル $\boldsymbol{x}$ にまとめると、連立方程式は $\boldsymbol{x}'=A(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}(t)$ になります。

GOALこの記事で分かること

• 線形系を成分表示と行列表示の間で変換する
• 行列指数と基本行列を使って初期値問題を解く
• 高階方程式を一階系へ直す

PRE前提知識

行列の積、べき級数、二階線形微分方程式の基本構造を使います。

一階線形系と基本行列

DEF一階線形系

$\boldsymbol{x}:I\to\mathbb R^n$ を列ベクトル値未知関数として $\boldsymbol{x}'=A(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}(t),\qquad \boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}_0.$ $\boldsymbol b=\boldsymbol0$ が同次系です。成分では $x_i'=\sum_j a_{ij}x_j+b_i$。$A\boldsymbol x$ であり $\boldsymbol xA$ ではありません。

定数行列 $A$ では $e^{tA}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\cdots,qquad \frac d{dt}e^{tA}=Ae^{tA}.$ 行列指数は成分ごとの指数ではありません。初期値解は $\boldsymbol x(t)=e^{(t-t_0)A}\boldsymbol x_0$。対角行列なら対角成分を指数化でき、$A=PDP^{-1}$ なら $e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}$ です。

線形系への変換と解法の例

EX対角系

$A=\operatorname{diag}(2,-1)$、$\boldsymbol x(0)=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ なら $e^{tA}=\operatorname{diag}(e^{2t},e^{-t})$、よって $\boldsymbol x=\begin{pmatrix}3e^{2t}\\4e^{-t}\end{pmatrix}$。

基本行列 $\Phi$ は列が線形独立な解ベクトルで $\Phi'=A(t)\Phi$ を満たす行列です。非同次系は $\boldsymbol{x}(t)=\Phi(t)\left[\boldsymbol c+\int_{t_0}^t\Phi(s)^{-1}\boldsymbol b(s)\,ds\right].$ 時間依存行列では一般に $e^{\int A(t)dt}$ としてはいけません。

EX二階方程式を一階系へ

$y''+3y'+2y=0$ に $x_1=y,x_2=y'$ と置くと $\binom{x_1'}{x_2'}=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}.$ 位置と速度を状態変数にした二次元系です。

EX簡単な非同次系

$\boldsymbol x'=\boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \boldsymbol x(0)=\boldsymbol0$ は $A=0$、$\Phi=I$ なので $\boldsymbol x=\begin{pmatrix}t\\2t\end{pmatrix}$。

基本行列に関する注意

!よくある誤解

基本行列は1本の解ではなく、独立な解を列に並べた正則行列です。

練習問題

Q基本：成分表示★☆☆

$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ の $\boldsymbol x'=A\boldsymbol x$ を成分表示してください。

HINTヒントを見る

各行と列ベクトルの積です。

ANS解答を見る

$x_1'=x_1+2x_2, x_2'=-x_2$。

Q標準：対角系★★☆

$\boldsymbol x'=\operatorname{diag}(-1,3)\boldsymbol x, \boldsymbol x(0)=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$。

HINTヒントを見る

各成分は独立です。

ANS解答を見る

$\boldsymbol x=\begin{pmatrix}2e^{-t}\\e^{3t}\end{pmatrix}$。微分すると $A\boldsymbol x$。

Q発展：三階から一階系★★★

$y'''+ay''+by'+cy=0$ を一階系にしてください。

HINTヒントを見る

$\begin{pmatrix}y\\y'\\y''\end{pmatrix}$。

ANS解答を見る

$\boldsymbol x'=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-c&-b&-a\end{pmatrix}\boldsymbol x$。

KEY要点のまとめ

• 行列指数はべき級数で定義する
• 基本行列は独立な解ベクトルを列に持つ
• 高階方程式は状態変数を増やして一階系にできる

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