常微分方程式とは

各点の短い線分が傾きを示し、その流れに沿って解曲線が進む方向場 — 微分方程式は各点で解曲線の傾きを指定します。方向場は、式を解く前に解の全体像を見せます。

何を求める方程式か

代数方程式 $x^2=4$ は未知の数を求めます。一方、 $y'=2y$ は独立変数 $x$ に対する未知関数 $y=y(x)$ を求めます。 $y$ は従属変数とも呼ばれます。

たとえば $y'=ky$ は一階、 $y''+y=0$ は二階です。後者へ $y=A\cos x+B\sin x$ を代入すると $y''=-y$ なので確かに解です。

線形・非線形と同次・非同次

未知関数とその導関数が1次式として現れる $a_n(x)y^{(n)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$ を線形方程式といいます。 $yy'=1$ や $y'=y^2$ は非線形です。線形方程式で $g(x)=0$ なら同次、 $g(x)\ne0$ なら非同次です。「非線形」と「非同次」は別の分類です。

解と条件

通常の $n$ 階方程式の一般解には $n$ 個の独立な積分定数が現れますが、特異点や退化した方程式では単純に数えられません。

解は式だけでなく、方程式と初期条件を満たす区間も含めて考えます。たとえば $y'=y^2, y(0)=1$ の解 $y=\frac{1}{1-x}$ は $x=1$ で発散し、初期点を含む最大存在区間は $(-\infty,1)$ です。

存在・一意性と方向場

$y'=3|y|^{\frac{2}{3}}, y(0)=0$ には $y=0$ と $y=x^3$ （さらに途中まで0に留まる解）があり、一意ではありません。右辺の $y$ 微分が0付近で連続でないため、上の定理は使えません。

方向場は各点 $(x,y)$ に傾き $f(x,y)$ の短い線分を描いたものです。解曲線を正確に求めなくても増減を読めます。人口の成長、放射性物質の減衰、ばねの運動などは、変化率の法則を微分方程式にした数理モデルです。

練習問題

Q基本：分類★☆☆

y''+xy=e^x

の階数、線形性、同次性を答えてください。

HINTヒントを見る

右辺と最高階導関数を見ます。

ANS解答を見る

二階線形・非同次です。

y,y''

は1次で、右辺が0ではありません。

Q標準：初期条件★★☆

y'=2y

の一般解を求め、

y(0)=5

を満たす解を検算してください。

HINTヒントを見る

y=Ce^{2x}

を微分します。

ANS解答を見る

一般解は

y=Ce^{2x}

。

y(0)=C=5

より

y=5e^{2x}

。微分すると

y'=10e^{2x}=2y

です。全実数上で定義されます。

Q発展：存在区間★★★

y'=y^2, y(0)=-2

を解き、最大存在区間を求めてください。

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-\frac{1}{y}=x+C

とします。

ANS解答を見る

y=\frac{1}{C-x}

。

y(0)=-2

より

C=-\frac{1}{2}

、したがって

y=-\frac{2}{1+2x}

。特異点は

x=-\frac{1}{2}

なので、初期点0を含む最大存在区間は

(-\frac{1}{2},\infty)

です。微分すると

\frac{4}{(1+2x)^2}=y^2

です。