原始関数と不定積分

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：標準学習時間：約70分

原始関数は微分すると元の関数になる関数です。 不定積分は一つの関数でなく、積分定数を含む原始関数の族です。

GOALこの記事で分かること

• 原始関数と不定積分を区別できる
• 積分定数を付けて基本積分を計算できる
• 微分によって答えを検算できる

PRE前提知識

基本的な微分公式を使います。

原始関数と不定積分の定義

DEF原始関数と不定積分

$F'=f$ を満たす区間上の関数 $F$ を $f$ の原始関数と呼び、 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$

と書きます。$f$ は被積分関数、$x$ は積分変数、$C$ は積分定数です。

THM原始関数の一意性

同じ区間上の二つの原始関数 $F,G$ の差は定数です。

∵証明

$(F-G)'=f-f=0$。平均値の定理から、導関数が0の区間上の関数は定数です。

被積分関数	不定積分
$1$	$x+C$
$x^n\ (n\ne-1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$e^x$	$e^x+C$
$\frac{1}{x}$	$\log
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$

EX線形性を使う基本計算

線形性より $\int(af+bg)dx=a\int fdx+b\int gdx$。例えば $\int(3x^2-4x+2)dx=x^3-2x^2+2x+C,$

$\int(e^x+\cos x)dx=e^x+\sin x+C.$

どちらも微分すると被積分関数へ戻ります。$x^{-1}$ だけはべき公式の分母が0になるため別扱いです。$\frac{1}{x}$ の原始関数は $x>0$ または $x<0$ の各区間で $\log|x|+C$ ですが、0をまたぐ一つの区間では定義できません。

連続関数は区間上で原始関数を持つことを基本定理で示します。不連続関数にも原始関数を持つものがありますが、すべてではありません。

積分定数に関する注意

!Cを落とさない

不定積分は原始関数の族です。$x^2$ の原始関数は $\frac{x^3}{3}$ だけでなく $\frac{x^3}{3}+C$ です。

練習問題

Q基本計算★☆☆

$\int(4x^3-2)dx$ を求めてください。

HINTヒントを見る

項別に積分します。

ANS解答を見る

$x^4-2x+C$。微分すると $4x^3-2$ です。

Q対数★★☆

$\int(\frac{2}{x}+e^x)dx$ を求めてください。

HINTヒントを見る

$\frac{1}{x}$ では絶対値を使います。

ANS解答を見る

$2\log|x|+e^x+C$（$x\ne0$ の各区間）です。

Q差が定数★★★

同じ区間上で $F'=G'$ なら $F-G$ が定数であることを示してください。

HINTヒントを見る

差を微分します。

ANS解答を見る

$(F-G)'=0$ なので平均値の定理から $F-G=C$ です。

KEY要点のまとめ

• 原始関数は微分の逆
• 不定積分には積分定数が必要
• $\int \frac{dx}{x}=\log|x|+C$
• 微分で検算できる

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