無限級数とは

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約70分

無限級数の和とは、最初の $N$ 項までの有限和が $N\to\infty$ で近づく値です。

GOALこの記事で分かること

• 部分和を使って収束を定義できる
• 等比・望遠鏡型級数の和を求められる
• 一般項が0でも収束とは限らないと説明できる
• 収束級数の線形性を使える

PRE前提知識

数列の極限と広義積分を使います。

無限個を一度には足さない

IDEA有限和の行き先を見る

$a_1+a_2+\cdots$ という記号は、無限回の足し算を完了する操作ではありません。$S_N=a_1+\cdots+a_N$ という数列を作り、その行き先を調べます。

DEF級数の収束

部分和 $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$ が有限値 $S$ に収束するとき、級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束し、その和を $S$ と定めます。部分和が有限値に収束しなければ発散です。

THM一般項に必要な条件

$\sum a_n$ が収束するなら $a_n\to0$ です。実際、$a_N=S_N-S_{N-1}\to S-S=0$ です。逆は成り立ちません。

EX等比級数

$S_N=1+r+\cdots+r^{N-1}=\frac{1-r^N}{1-r}$ です。したがって $|r|<1$ なら $\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}.$ $|r|\ge1$ では一般項が0へ収束しないため発散します。

EX望遠鏡型級数

$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ より、$S_N=1-\frac{1}{N+1}$ です。したがって $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}=1$ です。

EX調和級数は発散する

$\frac{1}{n}\to0$ ですが、 $1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\cdots+\frac18\right)+\cdots$ では各括弧が少なくとも $\frac{1}{2}$ です。部分和はいくらでも大きくなるので $\sum\frac{1}{n}$ は発散します。

THM級数の線形性

$\sum a_n=A$ と $\sum b_n=B$ がともに収束するなら、定数 $\alpha,\beta$ に対して $\sum(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha A+\beta B.$ これは各有限部分和での等式に極限を取った結果です。

!よくある誤解

有限和の交換法則だけでは無限級数の操作を正当化できません。まず部分和と極限を確認し、特に発散級数同士の差を安易に計算しないでください。

練習問題

Q基本：等比級数★☆☆

$\sum_{n=0}^\infty(\frac{1}{3})^n$ を求めてください。

HINTヒントを見る

$r=\frac{1}{3}$ です。

ANS解答を見る

$|r|<1$ なので $\frac{1}{1-r}=\frac{3}{2}$ です。

Q標準：望遠鏡型★★☆

$\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n(n+2)}$ を求めてください。

HINTヒントを見る

$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$ です。

ANS解答を見る

部分和では中間項が消え、$S_N=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}$。極限は $\frac{3}{2}$ です。

Q発展：必要条件★★★

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1}$ を判定してください。

HINTヒントを見る

一般項の極限を先に調べます。

ANS解答を見る

$\frac{n}{n+1}\to1\ne0$ です。収束級数の必要条件を満たさないので発散します。

KEY要点のまとめ

• 級数は部分和数列の極限
• $a_n\to0$ は必要条件だが十分条件ではない
• 等比級数は $|r|<1$ のときだけ収束
• 線形性は各級数の収束を確認して使う

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