常微分方程式とは
公開中未知関数、階数、線形性、初期条件、解の存在区間など、微分方程式を読むための基本語彙を学びます。
常微分方程式への入口
常微分方程式は、変化の法則から未知の関数を求める分野です。人口、温度、運動、化学反応など、時間とともに変わる量を数学で記述します。
公開中15記事、総学習時間の目安は約28時間40分です。
一階微分方程式編
Section titled “一階微分方程式編”常微分方程式とは → 変数分離形 → 一階線形微分方程式と積分因子 → 完全微分方程式 → 自律微分方程式・平衡点・相線
変数分離形
公開中xとyに関する量を分けて積分し、定数解を失わずに初期値問題を解きます。
積分因子で左辺を積の微分に変え、同次・非同次の一階線形方程式を解きます。
完全微分方程式
公開中方程式をポテンシャル関数の全微分として捉え、陰関数形の解を求めます。
明示解を求めなくても、符号と相線から平衡点の安定性や長時間挙動を調べます。
二階線形微分方程式編
Section titled “二階線形微分方程式編”二階線形微分方程式の基本構造 → 定数係数二階同次方程式 → 非同次方程式と未定係数法 → 定数変化法 → 振動・減衰・強制振動・共振
解空間、基本解系、ロンスキアン、初期値問題と非同次一般解の構造を整理します。
定数係数二階同次方程式
公開中特性方程式の実根・重根・複素根から実数値一般解を構成します。
非同次方程式と未定係数法
公開中右辺に応じた試行解と、共鳴時の修正から特殊解を求めます。
定数変化法
公開中基本解系の定数を関数へ替え、一般的な右辺に対する特殊解を作ります。
質量ばね系を通して自由振動、減衰分類、定常応答と共振を解析します。
連立系・変換・数値解法編
Section titled “連立系・変換・数値解法編”振動・減衰・強制振動・共振 → 一階線形微分方程式系 → 固有値・固有ベクトルによる連立系の解法 → 相平面・非線形系・線形化 → ラプラス変換による微分方程式 → オイラー法と数値解法入門
一階線形微分方程式系
公開中ベクトル値未知関数、基本行列、行列指数と高階方程式の一階系化を学びます。
固有値と固有ベクトルから実数値一般解と安定性を求めます。
相平面・非線形系・線形化
公開中相平面の平衡点を分類し、非線形系をヤコビ行列で局所線形化します。
導関数を代数式へ変換し、初期値問題と区分的外力を扱います。
オイラー法と数値解法入門
公開中前進オイラー法、誤差、安定性と改良法を手計算から学びます。
次の学習候補（準備中）
Section titled “次の学習候補（準備中）”- 高階線形微分方程式（準備中）
- 級数解法（準備中）
- フロベニウス法（準備中）
- 特殊関数（準備中）
- 境界値問題（準備中）
この科目で学べること
Section titled “この科目で学べること”一階方程式の代表的な解法と定性的解析、二階線形方程式の解空間と振動モデルに加え、連立系、ラプラス変換、数値解法まで扱います。