多変数関数・極限・連続性

30秒30秒で分かる要約

科目：微分積分難易度：発展学習時間：約90分

多変数の極限では、点へ近づく無数の経路すべてで同じ値になる必要があります。距離をノルムで測れば、高次元でも同じ定義が使えます。

GOALこの記事で分かること

• 実数値・ベクトル値の多変数関数を説明できる
• グラフ、等高線、等位集合を区別できる
• 経路で極限不存在を示せる
• ε-δ、極座標、はさみうちで極限を証明できる

PRE前提知識

関数の極限、ε-δ論法、連続性を使います。

多変数極限が存在するには、図に描いた経路だけでなく、あらゆる近づき方で同じ値になる必要があります。

多変数関数とは

DEF実数値関数とベクトル値関数

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ は変数ベクトル $\boldsymbol{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ を1個の実数へ移します。$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ は入力を $m$ 成分のベクトルへ移します。実際の定義域は、式が意味を持つ点など $\mathbb R^n$ の部分集合になることもあります。値域は実際に得られる出力の集合です。

EXグラフと等高線

$f(x,y)=x^2+y^2$ のグラフ $z=f(x,y)$ は放物面です。値 $c$ を固定した等高線（等位集合） $\{(x,y)\in\mathbb R^2:f(x,y)=c\}$ は $c\gt0$ なら半径 $\sqrt c$ の円です。$F(x,y)=(x+y,x-y)$ は $\mathbb R^2$ から $\mathbb R^2$ へのベクトル値関数です。

IDEA一変数より近づき方が多い

一変数では点へ左右から近づきます。平面では直線、放物線、らせん状の経路など無数の近づき方があります。グラフが描けない高次元でも、距離 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\|$ を使えば同じ考えを表せます。

DEF多変数極限のε-δ定義

$f:D\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ とし、$\boldsymbol a$ のどの近傍にも $D$ の別の点があるとします。 $\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol a}f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol L$ とは、任意の $\varepsilon\gt0$ に対してある $\delta\gt0$ が存在し、$\boldsymbol{x}\in D$ かつ $0\lt\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol a\|\lt\delta$ ならば $\|f(\boldsymbol{x})-\boldsymbol L\|\lt\varepsilon$ となることです。

EX経路で極限不存在を示す

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\quad((x,y)\ne(0,0))$ を原点へ近づけます。$y=x$ では $f=\frac{1}{2}$、$y=-x$ では $f=-\frac{1}{2}$ です。同じ点へ向かう2経路で値が異なるので極限は存在しません。

!よくある誤解

2本、あるいはすべての直線経路で同じ値になっても、極限存在の証明にはなりません。経路の違いは極限不存在を示すには有効ですが、存在を示すには全方向を一度に抑える評価が必要です。

EX極座標とはさみうち

$g(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2},\qquad g(0,0)=0$ とします。$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ と置くと $|g(x,y)|=r|\cos^2\theta\sin\theta|\le r.$ $r=\sqrt{x^2+y^2}\to0$ なので、はさみうちにより $g(x,y)\to0$ です。この評価は角度 $\theta$ に依存せず、あらゆる経路を同時に扱っています。

連続性

DEF多変数関数の連続性

$f$ が $\boldsymbol a$ で連続とは $\lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol a}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol a)$ となることです。一変数と同様、多項式は全域で連続で、有理関数は分母が0でない点で連続です。連続関数の和・積・合成も、定義できる範囲で連続です。

一変数との共通点は、誤差を距離で制御する点です。違いは入力空間に近づく経路が無数にある点で、「$x$ と $y$ を独立に0へ近づける」だけでは定義として不十分です。

練習問題

Q基本：等高線★☆☆

$f(x,y)=x+2y$ の値0と2の等高線を求めてください。

HINTヒントを見る

$x+2y=c$ をそれぞれ解きます。

ANS解答を見る

$c=0$ では $y=-\frac{x}{2}$、$c=2$ では $y=1-\frac{x}{2}$。互いに平行な直線です。

Q標準：経路判定★★☆

$h(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ の原点での極限を調べてください。

HINTヒントを見る

$y=0$ と $x=0$ を比較します。

ANS解答を見る

$y=0$ では1、$x=0$ では $-1$ です。2経路で異なるので極限は存在しません。

Q発展：極座標評価★★★

$k(x,y)=\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$（原点では0）が原点で連続であることを示してください。

HINTヒントを見る

$|x|\le r,|y|\le r$ を使います。

ANS解答を見る

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ とすると $|k|\le r\cdot \frac{r^2}{r}=r^2\to0$。関数値も0なので原点で連続です。

KEY要点のまとめ

• 多変数の入力は変数ベクトルで表す
• 極限はノルムによる距離で定義する
• 異なる経路は不存在を示せるが、有限本の経路は存在を証明できない
• 角度によらない極座標評価は全経路を同時に扱う

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