数列の極限とは

数列は自然数を添字とする数の並びで、一般項を $a_n$ と書きます。このサイトでは $0\in\mathbb N$ ですが、数列の初項を $n=0$ とするか1とするかは文脈で明記します。

数列の収束の定義

∵証明

$L\ne M$ の両方へ収束すると仮定し、 $\varepsilon=\frac{|L-M|}{3}$ とします。十分後の項は $L$ と $M$ の両方から $\varepsilon$ 未満ですが、三角不等式から $|L-M|<\frac{2|L-M|}{3}$ となり矛盾します。

∵証明

$a_n\to L$ とします。誤差1以内に入る $N$ 以降では $|a_n|<|L|+1$ 。それ以前は有限個なので、その絶対値の最大値と $|L|+1$ の大きい方で全項を抑えられます。

収束列では和・差・積の極限をそれぞれ計算できます。商では分母の極限が0でないことが必要です。 $a_n\le b_n\le c_n$ かつ両端が同じ $L$ へ収束すれば $b_n\to L$ です。これがはさみうちです。

単調で有界な実数列は収束します。この定理は実数の完備性に依存します。有界だけでは $(-1)^n$ 、単調だけでは $n$ が反例です。

Q有理式の極限★☆☆

$\frac{3n-2}{n+4}$ の極限を求めてください。

HINTヒントを見る

分子分母を $n$ で割ります。

ANS解答を見る

$\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{4}{n}}\to3$ です。

Qはさみうち★★☆

$a_n=\frac{1+(-1)^n}{n}$ の極限を求めてください。

HINTヒントを見る

$0\le a_n\le\frac{2}{n}$ です。

ANS解答を見る

両端が0へ収束するので $a_n\to0$ です。

Q反例★★★

「有界な数列は収束する」を反例で否定してください。

HINTヒントを見る

二つの値を交互に取ります。

ANS解答を見る

$a_n=(-1)^n$ は $|a_n|\le1$ ですが、偶数項と奇数項が異なる値を取り続けるため収束しません。